Calcular limites recorrendo ao integral de Riemann (I)

A fórmula do somatório de quadrados perfeitos do post anterior, não surgiu neste blog por mero acaso. Ultimamente tenho andado a passar os olhos por este livro de exercícios:


(Custou-me 8€ numa das feiras do livro do metro de Lisboa, enquanto lá estive nas minhas tentativas frustradas de tirar um mestrado em Equações Diferenciais e Análise Numérica).

No exercício 178, é pedido para calcular o limite:
.
Ora, conhecendo a fórmula:

Este limite calcula-se muito rapidamente.
Como eu não me lembrava da formula, calculei este limite de outra forma (a forma que vou agora apresentar), e depois, seguindo o raciocínio do post anterior, deduzi a fórmula da soma dos primeiros n quadrados e voltei a calcular o limite.

O truque que eu utilizei para não recorrer à fórmula da soma de quadrados foi simples: Notei que este limite podia ser convertido num limite da definição do integral de Riemann (ou seja, no limite de uma "soma de Riemann"), no intervalo [0,1], com uma partição de n subintervalos de igual comprimento 1/n:



[Os leitores podem confirmar a minha afirmação, recorrendo à fórmula da definição de integral de Riemann]

Uma boa estratégia para detectar estas "Somas de Riemann" é isolar os k/n e tentar obter uma coisa do tipo

Σ f(k/n)×(1/n)

com k a variar entre 0 e n-1. (mas naturalmente não é a única forma...)

Até uma próxima oportunidade.

PS: obviamente, a intenção do livro do Demidovitch e companhia é que se faça isto sem recorrer a integrais porque só aparecem mais à frente, ou seja, de preferencia usando a fórmula da soma de quadrados perfeitos.