Geometria analítica: rotações no espaço (1ª versão)

No espaço, as rotações são feitas em torno de uma recta orientada, a que vou chamar eixo de rotação.
A orientação da recta é importante para se poder ter também um sentido positivo para a rotação.

Comecemos com três rotações simples: as rotações em torno dos eixos coordenados:

Seja P um ponto do espaço, e R_Oz,θ a aplicação (ou função) que faz corresponder a P o ponto P′ do espaço correspondente a uma rotação em torno do eixo Oz, por um ângulo positivo de amplitude θ.

Exemplos:
R_Oz,(1, 0,-1) =
R_Oz, =
R_Oz, =
R_Oz, =
(z é um número real fixo);

Neste caso particular, consegue-se reaproveitar a fórmula do post anterior para rotações no plano, em torno da origem:

Ainda se consegue aproveitar esta fórmula para rotações em torno dos outros eixos. Uma rotação em torno do eixo Ox será R_Ox,θ e verificará a fórmula:

Da mesma forma uma rotação em torno do eixo Oy será R_Oy,θ

Passemos agora para o caso mais interessante, em que o eixo de rotação passa pela origem e tem a direcção de um vector arbitrário = (r_x,r_y,r_z).

Aqui o truque consiste em compor as aplicações anteriores.

Vou mostrar uma forma de efectuar a rotação(mas como poderão perceber, obviamente não é a única)

Seja α o ângulo que a projecção ortogonal de faz sobre o plano xOy, e φ o ângulo que faz com o semieixo positivo Oz

Então

(poderá querer fazer alguns esboços para se convencer disto)

E se o eixo de rotação for uma recta s, paralela a um eixo de rotação que não passa pela origem?

A essa rotação chamaremos R_s,θ. O problema resolve-se facilmente, de forma análoga ao caso das rotações no plano, fazendo uma translacção para um eixo que passe pela origem a que o eixo de rotação é paralelo, efectuando a rotação e desfazendo a translacção.

Observações:

• Nesta primeira versão, que pode-se considerar uma mera introdução evitei conscientemente alguns assuntos e alguns cálculos
• Um dia mais tarde penso que voltarei ao assunto ainda neste blog. Por isso deixei no título aquele "1ª versão"
• Nos próximos posts mostrarei algumas aplicações práticas destes dois últimos posts

Geometria analítica: Rotações no plano

Seja P um ponto do plano, e R_O,θ a aplicação (ou função) que faz corresponder a P o ponto P′ do plano correspondente a uma rotação de centro na origem O, por um ângulo de amplitude θ.

Exemplos:
R_O,(1, 0) =
R_O, =
R_O, =
R_O, =
R_O, =

A primeira questão que se impõe é a de saber se conseguimos obter uma expressão genérica para R_O,θ(a,b).

Sim, conseguimos. Há muitas formas de o fazer, mas eu vou enveredar por uma que recorre a números complexos.

(a,b) é o afixo do complexo z = a + bi, que tem módulo ρ = |z| = e argumento α, por outras palavras, é o afixo de z = a + bi = ρ cis α
R_O,θ(a,b) é o afixo de ω = ρ cis (α + θ).

Mas

Logo

Uma nota para as pessoas com conhecimentos de álgebra linear: R_O,θ é uma aplicação linear e à matriz desta aplicação chamamos matriz rotação.

E se o centro da rotação não for O, se for um ponto C fixo no plano?

A essa rotação chamaremos R_C,θ. O problema resolve-se facilmente fazendo uma translacção para a origem, efectuando a rotação e desfazendo a translacção.

Por outras palavras:

Próximo post: rotações no espaço

Observações:

• Na última fórmula, no 2º membro da igualdade estou a confundir propositadamente C com o seu vector posição. É um abuso de notação, mas que será habitual aqui neste blog, nos meus posts, que tem a vantagem de não tornar a notação "muito pesada".
• Estes dois posts sobre rotações surgem antes de regressar às secções cónicas para que eu possa utilizar estas ideias e notações
• Eventualmente terei de escrever um mapa de notações para este blog...
• Se houver interesse por parte dos leitores deste blog, um dia coloco um link, neste mesmo post, com exercícios.

Assim já não dá.

Tenho muitas reservas sobre uma educação que tenda a ficar dependente de tecnologias que nem são produzidas no nosso país...

As novas tecnologias não são más, mas o possível cenário de uma crise duradoura faz-me pensar que se calhar é boa ideia não tornar as pessoas assim tão dependentes delas durante a fase de educação.

Assim que o meu computador tiver problemas, arrisco-me a ficar sem computador por uns tempos e este blog fica parado até a situação estar remediada (e o computador já já tem vários problemas... por exemplo, a minha partição de sistema de vez em quando fica danificada e o computador não arranca.-Felizmente eu ainda tenho ferramentas e conhecimento técnico para ir resolvendo problemas mas falhas de hardware não são facilmente resolúveis sem substituições )
Arrisco-me a ficar sem computador por uns tempos.

Parece-me que a situação particular de Portugal deve-se principalmente ao facto de ter sido governado para as aparências e para o prestígio, como se os governantes não conhecessem a realidade do país... e até agora ninguém me mostrou provas do contrario.
Não me venham falar na conjuntura internacional, não sejam cegos, nem casmurros nem venham para aqui com mais contos do vigário.
Temos vários exemplos dessa "governação" para as aparências, "prestígio", e outras coisas que não só não fazem nada pelos portugueses, como destrói ou corrompe o que ainda havia de bom: agricultura, pescas, artesanato educação, acordo ortográfico, etc..
Aceitaram imposições da CEE/UE (e mais recentemente da troika) com negociações anedóticas que pareciam negociadas só por estrangeiros.
Ficámos dependentes do exterior quando podíamos ser 100% independentes (se calhar por isso é que o 1 de Dezembro-Dia da restauração da Independência- foi considerado feriado removível).
Mais recentemente, o presidente da Republica fez um apelo à salvação nacional, e os "3 partidos do poder" que assinaram o acordo com a troika foram incapazes de se entender, e os outros apelavam a umas eleições antecipadas sem ter consciência das consequências (É triste não é?)

Sou só eu ou isto parece-me mesmo um atestado de incompetência a praticamente TODA a nossa classe política das últimas 3.5 décadas?

Político que não serve bem a nação não serve nem para político nem para dirigente de coisa nenhuma!
Estes tipos vivem "à grande e à francesa" (que me desculpem os franceses, é uma expressão), e para eles tudo são jogadas pensadas sem ter em conta o povo que estupidamente os elegeu. Vejam lá quantos são realmente fieis à ideologia original dos seus partidos. Não passam de uma cambada de hipócritas...
Se isto é democracia, prefiro que o próximo governo seja eleito por sorteio aleatório com as seguintes condições:
"Recusam-se todos os que estão ou já estiveram filiados em partidos, indiciados, mesmo que considerados inocentes, em casos de corrupção - O que é que querem? Acham que eu ainda acredito na justiça?-  familiares até 2º grau de políticos dos últimos 100 anos, todos os que estejam ou tenham familiares associados a qualquer tipo de grupo financeiro, empresas ou pessoas que de alguma forma tenham lesado o estado ou qualquer outra empresa ( só queremos pessoas honráveis e de honra).
Aceitam-se  pessoas sem uma visão global passada, presente e futura do país, e que queiram um país produtivo que consiga resistir a pressões exteriores e não esteja tão dependente de financiamento exterior.
E já agora... assim que cessem os respectivos cargos, que fiquem proíbidos de saír do país por um período mínimo de 10 anos, ou 20 em caso de mandatos duplos.
Esta última restrição só por si faria muita gente pensar duas vezes.
Política não pode nem deve ser uma profissão. Deve servis SÓ para servir o país e apenas o país.
Quanto à moeda única... só aderimos a ela por uma questão de status. Chegou a altura de repensar esta moeda e esta Europa que só serve alguns (e não esqueçamos os incompetentes dos nossos eurodeputados e políticos internacionais)... Portugal é um país de joelhos, de pés atados, mãos atadas atrás das costas, com um saco preto na cabeça e prestes a ser decapitado por um grupo internacional de pessoas que estão-se nas tintas para o povo português e para os idiotas que nos puseram nesta situação...

Desculpem o idealismo. mas é porque realisticamente não estou a ver nada mudar para melhor neste país sem mudanças de atitude e de mentalidade.
(E mesmo assim cuidado: mudar só por mudar não é mudar para melhor, e nem todas as mudanças que nos sugerem são boas... )

Tomem lá uma música da minha adolescência... ou será mesmo infância? Podem ignorar a imagem/vídeo...
PS: É quase impossível escrever português ortograficamente correcto (entenda-se, sem AO) com correctores ortográficos.

A geração dos críticos de cinema e dos batoteiros

Já é tradição. Sempre que sai um filme ou uma série, há sempre uma crítica e seguem-se centenas de "críticos anónimos" (que regra geral, percebem tanto de cinema como eu de chinês) a fazer críticas ao filme.
Até surgir a internet, pensei que o hábito de criticar tudo e todos mesmo sem fazer ideia do que se diz fosse um hábito tipicamente português.
Depois de passar algum tempo a ver páginas no IMDB percebi que o hábito é mais geral.
Regra geral quando vejo um filme ou gosto, ou não gosto. Posso gostar muito ou pouco. Posso gostar de algumas partes, não gostar de outras... mas quem sou eu para, por exemplo, criticar os actores?
No máximo posso criticar a história ou a forma como foi contada. Mas, não fui eu que meti dinheiro na produção e realização do filme (no máximo paguei um bilhete ou um aluguer). Sou apenas um indivíduo que assistiu, tal como milhões por esse mundo fora.

Não estamos a discutir uma decisão política que directa ou indirectamente acabará a ter influência na minha vida. Estamos a falar de entretenimento.

Se querem criticar alguma coisa.. critiquem algo mais interactivo, tipo um jogo de computador. E de preferência que tenham chegado ao fim (se é que hoje em dia essa coisa existe) sem fazer batota!

Eu não sou fã das batotas em jogos. Sejam eles um jogo cheio do que a nossa civilização tem de pior (?), como os GTA ou jogos onde se tem de atingir objectivos irrealistas como seja coleccionar cerca de meio milhar de Pokémons espalhados por meia dúzia de jogos.

No caso dos jogos, eu tenho algumas opiniões divididas... Pode-se aprender muito ao investigar um jogo, e sobre alguns assuntos, até muito mais do que se aprenderia num curso de engenharia informática (sobre outros... é melhor ir lá tirar o curso).
Só que o que muita gente faz é simplesmente usar um "cheat-code" que foi passado por um amigo ou  leu algures numa revista ou na internet, e com isso não se aprende nada.
Pode-se alegar que não é a sério, que é apenas um jogo onde até os valores morais são diferentes dos que as pessoas têm na vida real.
O jogo foi feito para ser jogado sem esses truques... Será o jogador incapaz de passar o jogo sem fazer batota?
E se sim, na vida real, será alguém que também habituado a esses facilitismos? Ou seja, a fazer batota, a aldrabar ou ver as coisas a cair do céu?
"Não, é só um jogo..." responderão.

Ao menos quando ligo a minha PS2 e jogo um Gran-Turismo 3 ou 4 e vejo todos aqueles carros na minha garagem posso dizer "não fiz batota"!

Que legitimidade tem uma pessoa para criticar um jogo onde teve de fazer batota para cumprir os objectivos?
Que legitimidade têm estes críticos anónimos para falar de um filme ou de uma série? Não passam de "treinadores de bancada".
A esses dou uma sugestão: façam como eu, ou seja, arranjem um blog!

Papel, lápis, borracha, cálculos e um comentário a um comentário de um exame.

Admito que apesar de recorrer a computador e calculadoras (ou até a telemóvel...) para algumas coisas, ainda sou um matemático à moda antiga.

Antigamente enquanto circulava por aí, andava sempre com um pequeno bloco, onde tinha o cuidado de anotar alguns cálculos e ideias, pois há ideias que apenas ocorrem uma vez na vida.

Hoje em dia, tenho um bloco de folhas A4 quadriculadas, folhas brancas e uma grande baguete onde vou metendo as folhas escritas.

Não sou o maior fã das capas de argolas. Comem muito espaço. Por outro lado, as baguetes não são tão práticas como as capas quando se trata de juntar folhas ao monte. Mas continuo a usá-las.

Recentemente acabei a ter de refazer as deduções das equações das cónicas (aquelas deduções que tenciono apresentar aqui) no intervalo de explicações numa mesa de café.

Na verdade, há anos, quando fiz isto pela primeira vez, embora o raciocíno tenha sido, grosso modo, o mesmo, existem pequenas diferenças que acabaram por me dar ideias para outras coisas.

Por outro lado, não passa de uma série de cálculos que qualquer pessoa com os conhecimentos mínimos conseguirá fazer.
Eu vou tentar manter "conhecimentos mínimos" como qualquer coisa ao nível do nosso ensino secundário completo, com Matemática A toda.

Por falar em Matemática A... eu disse que não ia, nem vou comentar os exames de Matemática do ensino secundário, mas isso não me impede de fazer um pequeno comentário a um comentário que li sobre o exame da primeira fase:

Se se "contesta" o aparecimento de uma equação trigonométrica num exame de final do ensino secundário, também se pode contestar o aparecimento de potenciais equações de primeiro e segundo grau ao longo de todos os exames.

Se calhar se se lembrassem de por um produto interno no exame nacional também teríamos muita gente indignada não?
Façam-me mas é o favor de não ser ridículos...
Qualquer dia não se devem usar as letras do alfabeto porque foram ensinadas no ensino primário...

Bom final de fim-de-semana.

Agora estão na moda aquelas notícias que dizem que o estado gastou não sei quanto na formação de jovens que, por falta de emprego vão trabalhar no estrangeiro.


Mas que notícias tendenciosas!

E o dinheiro investido pelos pais? Ou pelos próprios estudantes?
E o tempo despendido pelos professores e alunos no trabalho?

Se querem falar do dinheiro gasto pelo estado na educação dessas pessoas falem em quanto as pessoas gastaram na formação também e já agora, comparem com as quantidades investidas em derrapagens orçamentais em obras públicas, ou dinheiro que desapareceu "misteriosamente"... como por exemplo, no BPN.

Exames, 2ª fase

Cá está um link para os exames de Matemática de hoje:

2ª Fase 2013

• Matemática A V1 e V2
• Matemática B

Se têm mesmo de ver, cá estão os  critérios de correcção:

Matemática A: critérios, critérios adaptados
Matemática B: critérios

A regra de 3 simples e os carecas...

Muitas vezes cruzo-me com ignorância matemática...
O mais frequente é pessoas a usarem a regra de 3 simples para tudo, mesmo que não haja qualquer tipo de proporcionalidade...

Regra geral, pessoas que "apenas tiveram Matemática até ao 9º ano" e usam isso como desculpa para cometerem todas as barbaridades que se possam imaginar ao nível matemático...

E frequentemente, eu dou-lhes este primeiro exemplo para perceberem que nem tudo é directamente proporcional:

Meio careca tem 500 cabelos. Quantos tem um careca?

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PS:

• Poderia usar um exemplo de proporcionalidade inversa ou outro modelo qualquer... mas este tem a sua piada porque muita gente responde mesmo que um careca tem 1000 cabelos...
• (Setembro 2016) O facebook decidiu bloquear os links que eu faço para este post sem me dar qualquer justificação.

[Por motivos técnicos e outros compromissos, o próximo post matemático neste blog fica adiado pelo menos até à próxima 5ª feira]

E a bandalheira continua.. nem com um apelo à salvação nacional por parte do Presidente da República se se mostram responsáveis.
Ao menos serve para os portugueses acordarem e verem a qualidade dos políticos que têm..

Não se ponham a defender os partidos: Estes tipos põem os interesses nacionais abaixo dos interesses político-partidários.

Lamento PCP e BE: Eleições não. 
São apenas mais despesa, lavar de roupa suja em praça pública, e eleger um ou dois partidos que não vão fazer milagres e manter tudo na mesma.
Mas se de facto houver interesse num governo de salvação nacional, é um erro grave ignorarem-vos...

Assim que for possível eu escrevo e partilho qualquer coisa desligada da política de Portugal e falo por exemplo... vá lá.. de Matemática.

Era uma vez um explicador de café....

Desde há uns tempos que combino explicações (de Matemática) em cafés.

É a vida...
Nos cafés sem se esperar ouvem-se coisas giras.
Ontem, enquanto um explicando resolvia uma série de exercícios propostos à minha frente e eu simplesmente acompanhava com o olhar, ouvi alguém, numa mesa vizinha, formado em Matemática falar do seu percurso académico, das suas notas...enfim...
Achei irónico..
Muito irónico.
Não ouvi de propósito e portanto nem comentei...
Eu tive melhores notas... melhor percurso. Mas, bem... sou "explicador de café". Ele,  professor.
Sorte a dele. Azar o meu.
O Scratchy (o meu computador) há já muito tempo que precisa de uma reforma... mas não há dinheiro.
 Há coisas muito mais prioritárias (por exemplo, preciso de uns óculos novos, nem sequer a armação anterior serve).
Aliás, o Scratchy, embora goste muito dele, é um dos responsáveis por eu muitas vezes nem fazer revisões ao texto.
Tive de tomar decisões bem difíceis, como abandonar a carreira universitária ou desistir de dois mestrados.
[Não me venham com tretas de "desistir nunca é o caminho" ou outras frases feitas, sou uma pessoa bem racional e pesei muito bem factos, consequências e circunstâncias]
Na verdade, parece-me que quando em mestrados só com um ou dois alunos uma pessoa com um percurso como o meu é forçada a desistir, algumas coisas têm de ser reavaliadas.

Todos os anos quando saem as notas brilhantes de muitos alunos nos exames de acesso ao ensino superior não consigo deixar de pensar na minha vida.
Neste mundo de sacanas, bons alunos podem ser sabotados por todo o tipo de "jogadas".

• O colega que quer o estágio dele.
• Um professor arrogante o suficiente para não fazer uma avaliação justa, ou simplesmente negar o direito à avaliação
• O colega de casa que não o deixa dormir.
• O professor que não prepara as aulas obrigando o aluno a perder muito mais tempo na sua disciplina do que perde nas outras.
• O colega que copia o trabalho e entrega primeiro...
• etc

... nem preciso de usar a imaginação.
Eu passei por vários destes e mais alguns.
Enquanto estudante no superior passei por 3 internamentos hospitalares (nenhum por qualquer tipo de esgotamento ).
Um na minha licenciatura e dois no meu último mestrado.
Por exemplo, após ter saído do internamento da licenciatura e regressado às aulas, fiz uma frequência.
Quando saíram as notas, à frente do meu nome estava um asterisco, em vez de uma nota...
À frente do meu e do de muita gente.
Bem... fomos todos acusados de copianço! E até ameaçados com expulsão..
Ora... eu não sou cábula nem copio. Entrei em Matemática... eu acabei o secundário com 20.
Não entrei na licenciatura para ser um cábula! Como poderia eu provar àquele individuo que eu não tinha copiado nada por ninguém apesar de não ter ido a muitas aulas?
[Só (muito) mais tarde compreendi o que realmente se passou naquele teste]
No ano seguinte.
Em 98/99 .. continuava eu em tratamento e com visitas regulares ao médico, preso ao SNS.
Apanhei a greve dos médicos e por várias vezes tive de esperar horas à espera no hospital, faltando a aulas.
Ou tendo de explicar a professores que eu não ia conseguir estar presente na aula do dia tal...
Até ao dia em que se lembraram de desmarcar consultas e remarcar quase em cima da hora.
Não vale a pena falar do professor que decidiu que éramos todos burros e gerou notas aleatórias entre 10 e 12 e distribuiu por todos os alunos SEM QUALQUER AVALIAÇÃO.

Tive consciência de que ter um problema de saúde em Portugal é quase interpretado como um acto criminoso.
Nos meus tempos em Lisboa, por inúmeras vezes, estando eu acompanhado do meu dossier médico com assinaturas, guias de tratamento, carimbos, declarações... me arranjaram atritos em centros de saúde, só porque eu estava registado na Madeira e não em Lisboa.
Ora a minha morada em Lisboa era provisória  Eu estava ali só para um mestrado.
Aliás cheguei a ter de mudar de casa 3 vezes, duas delas repentinamente!
Num centro de saúde, perto de casa, chegaram a recusar-me o tratamento...
E um dia, num centro de saúde. depois de consultar toda a minha documentação uma enfermeira disse-me:
"Sabe... eu não queria dizer isto, mas... isto só pode ser má vontade por parte dos meus colegas"
Nem vou falar dos professores que até levarem o meu problema de saúde a sério, trataram-me como eu trataria um bom baldas...

Voltei à Madeira.
Continuo a visitar regularmente o médico de família no centro de saúde.
Pela primeira vez em muito tempo até estou estavelmente bem
Gostava ao menos de ter um emprego decente para ao menos poder contribuir para o SNS/segurança social. (ou então... mais explicandos, para eu poder fazer disto profissão) 
Sou matemático. Não sou contabilista, secretário, informático, ...

E estes são apenas umas espreitadelas para a vida de um indivíduo, chamado Carlos Paulo, que um dia terminou o secundário nesta fantástica escola com 20 a Física e a Matemática (sem ter recorrido a explicações) nesse ano teve a melhor prova específica de Matemática da Madeira... e entrou numa Licenciatura em Matemática, muitos anos antes de nos imporem (e, em alguns sítios, mal e porcamente) uma coisa chamada processo de Bolonha.

A minha vida dava um livro...

"Tira Matemática do currículo" já me sugeriram..
Bem, se eu tirar Matemática.. fico "sem nada".
A Matemática sempre foi e é a minha vida...

Boa sorte para a vida a todos os que concorrem agora ao ensino superior... Boa sorte mesmo! 
Um bocadinho de sorte nunca fez mal a ninguém.

(yeah...sure... he didn't live in Portugal)

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Observação:
Por favor.. se algum dia a minha vida acabar em livro, livrem-se de utilizar acordo ortográfico!
A minha autobiografia não vai usar, mas não a publicarei!

Desabafo sobre a intervenção de sua excelência o Presidente da República

Não tenho cor política, mas digo desde já que não gostei de ver o Portas chegar a vice-primeiro ministro de pois de todas as "birras" públicas que tomou. Em nome da estabilidade Passos foi cedendo aqui e ali, umas vezes com razão, noutras só mesmo para satisfazer uma birra. Ora, o CDS-PP não foi o 2º partido mais votado, foi o 3º. Deixamos um líder birrento e que não é de confiança de um partido que ficou em 3º lugar chegar a vice-primeiro ministro?
É isto a "estabilidade"?
Cavaco fez algo digno de um presidente sério: Disse (embora não explicitamente) que esta solução não lhe servia e que queria o 2º partido mais votado também no governo.
Na verdade "direita" e "esquerda" não existem nesses 3 partidos... sem querer ofender ninguém, são 3 prostitutas ideológicas, que mudam convenientemente as ideologias conforme os interesses.

 PS: Quem eu não quis ofender foram as prostitutas.

E hoje foi apenas mais uma Segunda-feira

O grande sucesso do dia foi o Sai o Paulo, entra o Paulo, cortesia da  Rádio Comercial . A menos que saia alguma informação supostamente confidencial de algum dos dois "alvos" da música, esta música descreve muito melhor o que se passou do que muitos jornais e telejornais que vêm poluídos com  opiniões de comentadores ou mesmo de jornalistas.

Por cá as temperaturas continuam a aumentar, e eu começo a ter de manter o computador desligado.
Bem, este computador já é pior do que o DeLorean modificado pelo Dr Emmet L. Brown no regresso ao futuro. Está cheio de fios e acrescentos e muitas extensões USB.. só para funcionar. Inicialmente era um portátil. mas agora, de portátil já tem muito pouco (até monitor e teclado já são externos).
Não há orçamento nem para as peças novas nem para um computador novo e portanto, vai dependendo da minha imaginação e capacidade de desenrasque.

Na verdade, eu preciso mesmo é de um emprego que seja compatível com as minhas limitações e com as minhas habilitações.
Acham mesmo que há muita gente a pedir explicações de Matemática (ou áreas afins) no Verão? E em tempo de crise? E numa vila no interior da Madeira?

Bom... vou aproveitar para escrever mais qualquer coisa antes de ir dormir que amanhã é dia de mais explicações matinais...

Para quem está mesmo curioso pelo que se vai seguir com os meus posts sobre cónicas, partilho este link para o meu site e sugiro que vejam a primeira animação.
Ela resume o que vai ser feito com equações e que será partilhado em breve (espero que ainda esta semana).

OpenArena

OpenArena é mais um jogo OpenSource. Encaixa na categoria dos First Person Shooters (FPS) e utiliza um motor derivado do utilizado no clássico Quake 3 Arena.(id Tech 3).
Para ser honesto, na altura do Quake 3 , eu era mais jogador de Unreal Tournament, mas posso dizer que gostei do que foi feito em OpenArena e fico à espera das próximas versões.
No modo multiplayer existem vários tipos de jogo, deathmatch, team deathmatch. capture the flag, domination, last man standing... etc. ou seja, todos os tradicionais e mais alguns.
E não pense que encontrará poucos servidores de OpenArena para se ligar a um jogo online...

Se gosta de um bom FPS, e "à borla" este jogo é para si.
  (ok, se estiver a jogar online precisa de uma conta de internet, e está a pagar essa conta...).

E, tal como no Quake 3.. pode sempre personalizar o jogo, criando mapas, modelos, scripts etc.

Site oficial: http://openarena.ws

A lista negra das publicações...

Eu começo a ficar preocupado com a especulação que se faz lá fora em torno de Portugal.
A nossa comunicação social não ajuda... pega em frases "chave" e estica-as por vezes de forma ridícula para dar um título bombástico que não tem nada a ver com a notícia, e o que ainda pode tornar isto mais repugnante é o uso do tal Acordo Ortográfico.

Aviso desde já que se isto continua, não só vou deixar de ler certos jornais como até vou eliminá-los dos feeds do meu facebook..

Aliás, eu já devia ter feito isso com todos os que me impõem o AO90.. agora, a "lista negra" aumentou:
Os jornais com títulos muito "esticados"  têm direito a lugar na lista negra.

Há já imenso tempo que venho a notar isso,  e ao que parece, por várias opiniões que tenho vindo a ler no meu facebook desde há dois anos para cá, não sou o único.

E não são poucos os que fazem isto...

Não vou partilhar a minha lista negra para não ter nada a ver com a publicidade negativa que merecem.
Que seja cada um deles a gerar a sua publicidade negativa.

Só espero que as pessoas abram os olhos e vejam por si mesmas os contrastes notícia/título.

Eu sou um português que acha que é possível vivermos sem dívida externa.
Existem países que não têm dívida e portanto não é impossível. Sem dívida não estão a passar pelo mesmo que Portugal.

Mas a meu ver o maior problema é uma classe despesista que só quer fazer política e não tem qualquer interesse em resolver os problemas do país.

Dirijo-me aos senhores jornalistas, e apenas aos que gostam "de se esticar":
 Não estou interessado em títulos sensacionalistas. Apenas em notícias reais e sem qualquer tipo de manipulação de factos ou frases ditas pelos intervenientes nessas notícias.
Façam o favor de ser bons profissionais e fazer bom jornalismo.

Estatísticas...

Vou deixar o resto dos textos sobre a minha brincadeira com superfícies cónicas para os próximos dias.
Hoje cheguei a este blog e vi que tinha mais de 100 visitas.. só nas últimas 24 horas.
Bem, a média diária anda pelos 40-50.
Os textos mais vistos são onde falo do Acordo Ortográfico e os textos matemáticos.
Curiosamente, os textos com mais "+1"'s,  "gosto"'s ou "like"'s são os textos onde falo do AO.
Hoje, o meu texto Exames? Não vou comentar... espalhou-se pela comunidade anti-AO, sendo o principal responsável por esta explosão de visitas.
Quanto aos meus textos matemáticos (que passaram a ter fundo branco por questões técnicas)...
 Ou as pessoas não gostam da Matemática que apresento, ou quem gosta não tem conta Google ou conta facebook.
Eu ainda não pus um link twitter nos posts  porque ainda não encontrei uma interface que considere simpática para este blog
Admito que vários dos meus posts de Matemática requerem uma forte culttura matemática, e muitos exigem um leque de conhecimentos que só é exigido a alguém que tenha terminado o secundário num agrupamento com o equivalente à actual Matemática A ou mesmo já uma cadeira de cálculo ou análise.
Outros, apenas requerem um modesto 9º ano de escolaridade, como aquele sobre a soma e o produto das soluções de uma equação polinomial de 2º grau.
Eu até poderia escrever um texto sobre a soma e o produto das raízes de um polinómio de grau N, que seria mais geral e talvez mais útil, mas menos pessoas seriam capazes de o ler... e as que seriam capazes de o ler muito provavelmente já saberiam o que está lá escrito antes de eu escrever.

O próximo post de geometria analítica por exemplo, se eu o escrever recorrendo a matrizes torna-se muito fácil.
Mas... estou a complicar a vida a quem não sabe nada de cálculo matricial.
Tenho de tomar opções para não tornar os textos muito inacessíveis.

Os outros textos são acessíveis a muito mais gente, mesmo quando eu insulto o "Acordo" Ortográfico, com erros gramaticais e ortográficos...
Não o faço de propósito, mas muitas vezes acabo por não rever os textos antes de os publicar e as revisões são só feitas depois de os textos estarem publicados porque sinceramente nunca esperei ter tanta gente a ler os meus "delírios".

Aliás, durante anos habituei-me a ver estatísticas de um, dois .. ou três leitores diários nos meus blogs.

É bom saber que há quem leia o que escrevo.
Obrigado a todos.
À comunidade anti-AO90 em todos os países de língua oficial portuguesa deixo um grande abraço e peço que continuem a lutar pela defesa do português.
Prometo tentar ter mais cuidado com a minha escrita.

---

PS: Eu estou a conter-me para não falar do estado deste país após os acontecimentos do princípio da semana. Já dei algumas opiniões como resposta em comentários no facebook, mas decididamente, prefiro falar de outra coisa qualquer.
 Amanhã ou discuto a equação de uma superfície cónica a girar ou vou buscar mais algum jogo opensource...

Geometria analítica Da superfície cónica de revolução às secções cónicas Parte 1 : A superfície cónica de revolução

Tal como prometi da última vez, vamos lá deduzir a equação de uma superfície cónica de revolução.
Para isso, consideremos um ponto V no semieixo positivo Oz, de coordenadas (0, 0,a), e uma circunferência de raio r centrada na origem e contida no plano xOy.
A superfície cónica (de revolução) é o conjunto de todos os pontos de todas as rectas que passam por V e por um ponto arbitrário de .
Vamos lá escrever isto com equações.

A forma geral de um ponto de pode ser (r cos θ,r sin θ, 0) onde θ [0, 2π[. Uma equação vectorial de uma recta que passa em V e por um ponto de é

Logo, uma equação paramétrica desta superfície cónica é

Vou tentar eliminar os parâmetros k e θ e obter uma equação em x,y,z,a e r. Esta equação paramétrica pode reescrever-se assim

E isto implica que:

(Se elevarmos ao quadrado as duas primeiras equações "do sistema"e somarmos temos a primeira igualdade. Se na 3^a equação "do sistema"passarmos a para o primeiro membro, e depois elevarmos cada membro ao quadrado temos a 2^a equação) E daqui rapidamente se tira

(deixo a justificação e algumas tecnicidades a cargo do leitor)

Fazendo uma translação de toda a superfície por forma a que V coincida com a origem do referencial, ficamos com a equação:

continua num próximo post

Algumas observações:
A técnica aqui usada pode ser aplicada para deduzir muitas outras equações de superfícies cónicas não necessariamente de revolução, e até de outras superfícies que nada têm a ver com cones. Como sai do âmbito do que tenciono fazer nesta exposição, por enquanto deixarei isto apenas como nota.
Tal como prometi, é um exercício "infantil" (não é?). O próximo post sobre este tema é também simples...
Quem tem conhecimentos suficientes de cálculo integral pode utilizar a equação da superfície cónica aqui deduzida para fugir um bocadinho ao assunto e deduzir a fórmula do volume do cone que todos conhecemos (ou devíamos conhecer) do ensino pré-universitário.
Ainda não sei quando postarei as próximas partes sobre este desenvolvimento relativamente a cónicas, mas tentarei fazê-lo brevemente.