Da equação da bissectriz às coordenadas do incentro

Aviso: Nesta dedução, por comodidade, os pontos são confundidos com os seus vectores posição.
O incentro I de um triângulo é o ponto de intercecção das três bissectrizes dos angulos internos.
Se as três encontram-se no mesmo ponto então, basta determinar a intersecção de duas destas três semi-rectas.

Sejam A;B e C os vértices de um triângulo. Como é normal fazer, denominemos por a o lado oposto a A,b o lado oposto a B e c o lado oposto a C.
Como mostrei há duas (quase três) semanas , a equação da bissectriz de ∠BAC é

Ou, de forma equivalente

Uma equação vectorial da bissectriz de ∠ABC é

A intersecção é:

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Ou, equivalentemente

Sendo esta última igualdade verdadeira temos de ter

E portanto

A duas dimensões, temos então

onde p é o perímetro do triângulo.
E a três dimensões temos

Nota: Em breve adicionarei uma aplicação(blog-app) a este blog que determina as coordenadas do incentro, o raio da circunferencia inscrita no triangulo, o circuncentro, o raio da circunferencia circunscrita... etc.