Intersecção de Circunferências em coordenadas rectangulares Parte 1: um exemplo

Como foi visto na primeira parte do post sobre tangentes a uma circunferência que passam num ponto exterior, uma possível construção da solução passa pela intersecção de circunferências. Do ponto de vista da geometria analítica, estaremos perante uma tarefa fácil? Existirá uma forma geral "visualmente agradável" para a intersecção de circunferências?

Começarei com um exemplo simples: Quais as coordenadas dos pontos de intersecção das circunferências cujas equações são:

e

A minha sugestão, para resolver situações deste tipo é esta: desenvolvem-se os quadrados dos binómios de cada equação e subtraem-se as duas equações. A equação que resulta da subtracção, como veremos mais tarde, é a equação de uma recta perpendicular à recta que passa pelos centros das circunferências. Neste caso temos:

E subtraindo a segunda equação da primeira temos

Que é a tal recta, que contém os pontos de intersecção. Para determinar os pontos de intersecção, basta intersectar esta recta com uma das circunferências.

Ou seja:

Portanto

E esta é a técnica a seguir sempre. Infelizmente, seguir estes passos por forma a obter uma fórmula para o caso geral, tem o inconveniente de não nos dar uma fórmula muito amigável, como veremos na próxima parte.

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PS: Não é propriamente necessário desenvolver os quadrados: se uma pessoa se lembrar que existe uma fórmula habitualmente designada por fórmula da diferença de quadrados, basta subtrair as equações iniciais...

Como foi visto no post do Sábado passado, a construção das rectas tangentes envolveu a intersecção de duas circunferencias.
Assim, neste fim de semana e na próxima semana, em vez de um post matemático serão postados dois (ou mesmo 3):
Um sobre intersecções de circunferências que será útil no futuro e depois então, o post com uma segunda parte sobre as rectas tangentes.

Estive a reescrever/recompilar/adaptar alguns dos meus programas (originalmente escritos no devc em windows) para Linux. Estão a funcionar bem, portanto a segunda parte do texto sobre as tangentes a circunferências que passam num ponto exterior deve ser postado em breve, dependendo da minha disponibilidade horária.

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PS: Eu evito a tecnologia MathJax por exigir uma compilação em directo no servidor (...).
Primeiro escrevo um ficheiro LaTeX no computador, depois, converto para html recorrendo a um software livre que se encontra online, e finalmente, carrego as fórmulas pré-compiladas para um sítio na internet (tipicamente blogger ou picasa) e uso o programa linkreplacer que se vê a correr na animação ,(programa e animação da minha autoria, portanto, peço desculpa pelo erro de português na palavra construção) que analisa o ficheiro html e substitui os links para as imagens que tenho no computador por links para as imagens que estão online e depois de tudo isto copio o código html para o blog, ficando o post disponível online.

Dia cansativo... Acabei por adormecer no autocarro.
Vou ter de deixar o resto do problema para outro dia...

Rectas tangentes a uma circunferência que passam por um dado ponto exteriorParte I: régua e compasso

No post anterior deixei três desafios simples, e propus que após a resolução, se fizesse uma possível implementação em calculadora.
Vou resolver apenas um deles.
Dada uma circunferência de centro C e um ponto A exterior a ela, quais são as equações (completas ou, se possível, reduzidas) das rectas tangentes à circunferência que passam por A?

Vamos começar por esquecer a geometria analítica e resolver o problema geometricamente.
Deixo as justificações da construção que vou elaborar a cargo do leitor.
[Sugestão: basta a geometria que se aprende até ao fim do 9^oano de escolaridade]
Começamos por determinar o ponto M, ponto médio do segmento [AC].
Em seguida construímos a circunferência auxiliar de centro M e que tem como diâmetro o segmento [AC].
Esta circunferência intersecta a circunferência inicial em dois pontos, T₁ e T₂ que são os pontos de tangência das rectas que passam por A.
Note-se que esta construcção pode ser facilmente feita com uma régua e um compasso.

A geometria analítica fica para a próxima parte (Domingo ou Segunda, pois parece que tenho de rever o código de uma das aplicações que eu uso para postar Matemática aqui no blog..).
Segue-se uma animação da construção, feita com Geogebra...

Um exemplo de aplicação do que de vez em quando faço neste blog...

No dia 3 de Fevereiro deste ano, mostrei aqui no blog uma dedução de uma fórmula para a equação reduzida da mediatriz de um segmento.
Disse também que a fórmula poderia ser aplicada na elaboração de um programa para calculadoras... (ou mesmo para aqui para o blog).
No meu blog de explicações partilho algumas versões.
Podem ver na animação que se segue a versão para as CASIO CG10 e CG20

Deixo, como desafio deduzirem :

• a equação reduzida de uma recta tangente a uma circunferência num dado ponto da circunferência
• as equações das rectas tangentes à circunferência que passam por um dado ponto exterior
• uma equação cartesiana do plano mediador de um segmento no espaço.

E se houver tempo, escrevam código para uma calculadora (qualquer) e partilhem, pelo menos uma animação do programa a correr....

APM quer suspender Novos programas de Matemática do ensino secundário...

O Jornal Público noticiou na passada 4ª feira que a APM quer suspender o novo programa de Matemática do ensino secundário com base numa série de acusações.
Eu não sou lacaio do Ministro Nuno Crato (muito pelo contrário, critico muitas decisões dele), e muito menos da APM ou da SPM.
Não gosto desta "guerra"!
Eu tenho muitas reticencias  em ambos os programas.
Em primeiro lugar não me agrada ver uma coisa imposta "à acordo ortográfico", não gosto de várias coisas do actual. e quanto ao novo... ainda tem muitas arestas por limar. As acusações contra ou a favor dos novos programas são demasiado radicais para poderem ser levadas a sério, e quem vai nelas sem ter consultado a documentação de ambos os programas merece um bom e metafórico puxão de orelhas..

Quanto a essa história de "países de referência"... Para não ser mal educado, eu só vou dizer que Portugal está no estado em que está pelas muitas referências de outros..

Desde que uma petição com mais de 100 000 assinaturas  contra o AO não deu em nada que não me fio nelas...

Boa sorte à APM, com a sua petição.
Já agora eu recuso-me a assinar essa petição, apenas com base no texto com que é apresentada!

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PS:Acabem com a palhaçada do radicalismo e dos "países de referência", porque estão é a mostrar ser da mesma classe que muitos políticos!
 Já me bastou o tal "limite universitário" do exame de 12º (1ª fase) do ano lectivo passado...
Ou a senhora Merkel a dizer que Portugal tem muito diplomado (!!!)