terça-feira, 28 de novembro de 2017

O número de algarismos...

Isto de ter alunos repetentes (pronto, a fazer melhoria de nota, que soa melhor), às vezes permite-me esticar-me.
Hoje deixei esta pergunta a um explicando de 12º, para me responder depois do teste:
Quantos algarismos* tem a soma de todos os elementos da linha 2017 do triângulo de Pascal?




*Só para nerds e chatos: Em base 10... obviamente.
Mas se percebeu porque acrescentei isto, diga quantos teria em base 60


Observação: Nem lhe dei uma fórmula para o número de algarismos... se no meu tempo, no 12º, eu cheguei à fórmula sozinho, será muito pedir a este aluno que o faça?

Não estou a perguntar quais são, só quantos são.
E você, sabe quantos são, sem os contar?

608

A soma de todos os elementos da linha 2017 do triângulo de Pascal é 22017. Espero não chocar ninguém ao abservar que este número é natural!
Dado um natural N, o número de algarismos na de N é dado por: na=1+ Int( log10N) , onde Int(x) designa a parte inteira de x.


(justificação apresentável a um aluno médio do ensino secundário que já conheça logaritmos)
Comecemos por observar que
  • O número de algarismos para qualquer natural entre 1 e 9 é 1
  • O número de algarismos para qualquer natural entre 10 e 99 é 2 - 10 é o primeiro com 2
  • O número de algarismos para qualquer natural entre 100 e 999 é 3 - 100 é o primeiro com 3

Isto permite concluir que um número natural tem tantos algarismos como a maior potencia de base 10 menor ou igual a ele.
Ora o logaritmo base 10 dessa potencia, é inteiro e, está a contabilizar o número de zeros.
Só temos de adicionar uma unidade para contar o algarismo 1.
Note-se que a parte inteira do logaritmo não muda entre duas potencias consecutivas de base 10. (Porquê? Justifique-me você).
Então, a parte inteira do logaritmo base 10 de qualquer natural N dá-nos o número de zeros da maior potencia de base 10 menor ou igual a N, de onde sai o resultado!
Assim, o número de algarismos de 22017 é 1+ Int( log1022017)=1+ Int( 2017log102)=1+607=608

22017=15048778649098708900024591334476113300977322584816945731700558880122683541322076177782007219047710981075054947716136472064126077643824238840065967471547556631560845937254371164250279660518119161387932318441601269076015902051059415639302737237176005947674459708871461936685990491668258704528004116902095445209142907238410945246315083832742911528263323025464230244084170860858180649908473861473732904002152903343524599316744998729600734613976276435145967459880414992210979426610665493516790262296298203742913223142110136307331732133567798248592543027545063446994685630981451647656652367955517092809805578371072



(342)10 (adaptar o raciocínio usado na resolução do problema em base 10)

PS: Solução deixada no dia 15 de Dezembro de 2017.

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