O fantástico número e: "limites notáveis"

   Actualmente, em Portugal, no ensino secundário, define-se e como sendo o limite:

A existência deste limite, não é analíticamente demonstrada a não ser no ensino superior, tipicamente recorrendo ao facto de a sucessão (1+1/n)^n ser monótona (crescente) e majorada (logo, limitada).

Uma consequência desta definição é o limite

Que por sua vez, (graças à definição de limite segundo Heine) leva-nos ao limite:

Este limite, conjuntamente com a continuidade do logaritmo base e pode ser utilizado, por exemplo para calcular o limite:

e, por sua vez, este último limite pode também ser utilizado para deduzir o valor de

[o primeiro passo neste último limite foi a substituição y=e^x-1]

Com simples manipulações conseguem-se demonstrar os outros "limites notáveis."
Ou seja, os "limites notáveis" associados a e são uma simples consequência da sua definição.
A importância deste último limite em particular, está no facto de ser ele o responsável pelas fórmulas de derivação das exponenciais, e também dos logaritmos.

Este post é algo que deveria ser do conhecimento geral de todo o aluno que termina o actual secundário, e que afasta a "necessidade" de calculadoras na justificação de "limites notáveis"...

Exercício: mostrar, recorrendo à definição e apenas a limites indicados nesta página que a derivada do logaritmo base e no ponto 1 é 1.

“Before you diagnose yourself with depression or low self-esteem, first make sure that you are not, in fact, surrounded by assholes.” ~William Gibson

Tenho de confessar-vos uma coisa: Livrar-se dos idiotas funciona mesmo.

Calcular limites recorrendo ao integral de Riemann (I)

A fórmula do somatório de quadrados perfeitos do post anterior, não surgiu neste blog por mero acaso. Ultimamente tenho andado a passar os olhos por este livro de exercícios:


(Custou-me 8€ numa das feiras do livro do metro de Lisboa, enquanto lá estive nas minhas tentativas frustradas de tirar um mestrado em Equações Diferenciais e Análise Numérica).

No exercício 178, é pedido para calcular o limite:
.
Ora, conhecendo a fórmula:

Este limite calcula-se muito rapidamente.
Como eu não me lembrava da formula, calculei este limite de outra forma (a forma que vou agora apresentar), e depois, seguindo o raciocínio do post anterior, deduzi a fórmula da soma dos primeiros n quadrados e voltei a calcular o limite.

O truque que eu utilizei para não recorrer à fórmula da soma de quadrados foi simples: Notei que este limite podia ser convertido num limite da definição do integral de Riemann (ou seja, no limite de uma "soma de Riemann"), no intervalo [0,1], com uma partição de n subintervalos de igual comprimento 1/n:



[Os leitores podem confirmar a minha afirmação, recorrendo à fórmula da definição de integral de Riemann]

Uma boa estratégia para detectar estas "Somas de Riemann" é isolar os k/n e tentar obter uma coisa do tipo

Σ f(k/n)×(1/n)

com k a variar entre 0 e n-1. (mas naturalmente não é a única forma...)

Até uma próxima oportunidade.

PS: obviamente, a intenção do livro do Demidovitch e companhia é que se faça isto sem recorrer a integrais porque só aparecem mais à frente, ou seja, de preferencia usando a fórmula da soma de quadrados perfeitos.

A soma dos primeiros n quadrados perfeitos, uma outra dedução

Já muita gente se deve ter cruzado com esta fórmula alguma vez na vida, e típicamente deve tê-la demonstrada facilmente recorrendo ao método de indução matemática.

No entanto, dado o seu aspecto, será pouco provável que esta fórmula tenha sido deduzida pela primeira vez recorrendo ao método de indução.

Como isto é Matemática, dificilmente há demonstrações "únicas".
Vou propor outra forma simples de demonstrar esta fórmula e outras do mesmo tipo (somas de cubos, de potencias quartas..etc)

Basta tomar:


E sabendo que é a única solução da equação com diferenças:

Basta resolvê-la.

(Saber resolver equações com diferenças é algo que devia fazer parte da cultura de todo e qualquer matemático...)

Garanto que obtêm a mesma fórmula.

Tempo perdido

Todos os dias quando acordo
Não tenho mais
O tempo que passou
Mas tenho muito tempo
Temos todo o tempo do mundo...

Todos os dias
Antes de dormir
Lembro e esqueço
Como foi o dia
Sempre em frente
Não temos tempo a perder...

Nosso suor sagrado
É bem mais belo
Que esse sangue amargo
E tão sério
E Selvagem! Selvagem!
Selvagem!...

Veja o sol
Dessa manhã tão cinza
A tempestade que chega
É da cor dos teus olhos
Castanhos...

Então me abraça forte
E diz mais uma vez
Que já estamos
Distantes de tudo
Temos nosso próprio tempo
Temos nosso próprio tempo
Temos nosso próprio tempo...

Não tenho medo do escuro
Mas deixe as luzes
Acesas agora
O que foi escondido
É o que se escondeu
E o que foi prometido
Ninguém prometeu
Nem foi tempo perdido
Somos tão jovens...

Tão Jovens! Tão Jovens!...

Legião Urbana

Conheci esta música num filme brasileiro (muito bom):

"o homem do futuro"
...
Alguém me oferece um DVD original deste filme?
[Não quero o blu-ray.. não tenho leitor disso]

O mundo em 2012 - Parte I

Desde Dezembro que não escrevo uma linha de código.
Sento-me a rabiscar a fazer cálculos...

Ocorrem-me ideias para o meu universo de ficção científica.
Vou tomando nota delas na minha "bíblia".

Ouço as notícias deste mundo, e "notícias" cheias de opiniões, juizos e comentários.
Onde anda a imparcialidade? E no meio de tantos juizos, onde está a verdade?
Quem deu às pessoas que têm o dever de informar o direito a julgar?
Não confundam o direito à informação com liberdade de expressão!


Não sou o maior fã do dr. Alberto João Jardim, por estar desde 1976 no poder, mas ver uma "entrevista" onde ele não pode acabar um raciocínio, seja ele qual for, e tenha ele a qualidade que tiver, é irritante.

A mim incomoda-me que não me deixem acabar uma frase. É isto jornalismo?
Eu tenho as minhas opiniões... não preciso de as ter manipuladas pela comunicação social.
Aliás, ver TV, hoje em dia é aborrecido.
Séries, filmes e programas têm grandes intervalos para publicidade.
[Eu sei que precisam de publicidade, mas precisam mesmo de TANTA?]



Compreendo perfeitamente quem prefere fazer download de séries e vê-las no computador, sem publicidade.
Compreendo quem faz um download de um filme em vez de comprar um DVD que logo nos primeiros minutos nos atira publicidade ou pior que nos mostra um videozinho a dizer que o download é ilegal... BOLAS as pessoas COMPRARAM o DVD. precisam mesmo de ver aquela porcaria, QUE AINDA POR CIMA aparece em praticamente TODOS os DVDs que compram?
Compreendo que os autores precisam de ganhar pelo que produzem.
Mas, tenho de pagar uma taxa "anti-pirataria" por cada resma de papel A4 que compro?
Terei de pagar uma taxa do mesmo tipo por cada CD/DVD/Pen/leitor de Mp3 ou Mp4/Disco Rígido que EU COMPRAR?
Estão a assumir que somos todos piratas? Bolas! Eu uso as MINHAS folhas para escrever, quando imprimo, imprimo textos MEUS! Vão roubar outro!

Quando requisitam um livro numa biblioteca, têm de pagar a alguém pelo que ficar na vossa memória?
Bolas... chegaremos a um dia em que cantarolar algo que ouvimos na rádio pagará imposto!

Nos EUA decidiram fazer uma SOPA e encher-nos com uma PIPA, alegadamente para proteger direitos de autor, que podem "matar" projectos como Wikipedia, Youtube, Facebook, etc etc...

Estamos a regredir, a cair num mundo sem conhecimento livre?
Há anos que digo que em muita coisa os EUA não são exemplo para ninguém.
[Não se preocupem que a União Europeia também não é]

Pirataria? Não me façam rir. Há tanta gente a ganhar fortunas "legalmente" com ela. Que sejam esses a pagar taxas.

Fechar sites que até têm utilidade legítima com medo da pirataria é assumir que todos são culpados até provas em contrário.
"Pirataria", que até está a ser paga todos os meses por quem paga a internet e ainda tem de ver publicidade nos sites que visita, e que muitas vezes até tornam o PC mais lento por estarem a recorrer a aplicações demasiado exigentes a quem não fez um upgrade ao seu computador. Computador que até funciona bem e rapidamente quando não tem de abrir essas coisas [eu tenho um exemplo disto: o meu já velhinho pentium IV 2.4 ghz]

Assim que em Fevereiro eu voltar a enfrentar a hipótes de ter de cortar a internet... Se eu tiver em conta o que os EUA querem fazer à internet (como se a internet fosse propriedade americana), o corte não me vai fazer sentir muita pena.

Sim, estamos em 2012, e parece que querem mesmo acabar com o mundo que conhecemos.


Até à próxima oportunidade.

Emprego Bom Já

Ouvi esta musica hoje de manhã na rádio comercial.
Gostei do videoclip com bonecos de lego...

Austeridade... e contenção de despesas: o fim de mais uma era.

Se em 2011 vi-me forçado a abandonar o mestrado... a verdade é que no cenário actual, mesmo que eu quisesse, no presente ano lectivo, continuar seria impossível.
A tal de "crise" de que muitos falam, para algumas pessoas está a sair bem cara.
Não só ser-me-ia impossível pagar as propinas, como seria impossível estar deslocado.
Por cá na Madeira, os medicamentos deixaram de ser comparticipados.
(Ok, os meios de comunicação social dizem que o governo está a montar um esquema para nos devolver,nos centros de saúde o dinheiro das comparticipações... mas obviamente isto não é solução: os centros de saúde já andam cheios de doentes, e muitas pessoas passam o dia no trabalho, e quando saem, o centro de saúde já fechou... mas não vou discutir o assunto aqui, deixo isso para os nossos comentadores políticos das TVs, que tipicamente não fazem ideia do que dizem).
A mim, a contenção de despesas, em breve vai obrigar-me até a cortar na Internet (Sim, eu vou ficar sem Internet, e este blog, no qual eu publico de forma irregular, deve cair no limbo por tempo indeterminado).
Não é a dar explicações por cá que vou conseguir aguentar-me.

A alternativa seria dar explicações no Funchal, mas os transportes públicos estão a ficar bem caros com todos estes aumentos ditados pelos idiotas que acham que assim vão "salvar" Portugal, e só compensaria com um número adequado de alunos... e com uma sobrecarga de trabalho da a minha parte. Não está fora de hipótese, mas dado o cenário actual, é algo que tem de ser muito bem estudado.

Escrevo estas linhas no meu já velhinho Pentium IV com mais de 10 anos.
Estou a poupar o Scratchy para os meus projectos e trabalhos. Ás vezes pergunto-me até quando aguentará, visto que comprar um substituto também está fora dos meus planos...

2012 pode não ser o fim do mundo, mas, vai a caminho de ser o fim do mundo tal como eu o conheço.

"Deus escreve direito por linhas tortas"

Esperemos que sim...