Bullying

A magricela que chamaste de anoréctica tinha intestinos que não absorviam nutrientes.
A garota que chamaste "p*ta" na aula era virgem.
A rapariga grávida a correr pela rua, foi violada.
O rapaz que chamaste de coxo, trabalhava todas as noites para sustentar a familia.
Aquela rapariga que deitaste abaixo no outro dia, sofre abusos em casa.
Aquela garota que tu chamaste "gorda", está a morrer à fome.
O velho que gozavas pelas cicatrizes feias, lutou pelo nosso país.
O rapaz que tu gozaste por estar a chorar... A mãe dele estava a morrer.

Não julgues. Diz não ao Bullying.
(adaptado)

Palpites? Fiquem com eles, obrigado.

Muitas vezes ouço opiniões que não pedi das pessoas menos recomendáveis para as dar. Uma vez na vida ainda vá que não vá... mas muito frequentemente, torna-se aborrecido e as pessoas ou entram na lista de pessoas a evitar ou pessoas a levar uma resposta do tipo: "metam-se na vossa vida!" . Há pessoas tão chatas que acham que sabem tudo, e dizem cada bacorada...

Saúde

Aqui, não sejam idiotas. Se têm problemas de saúde consultem um médico, ou qualquer outro tipo de especialista, e se for necessário, recorram a uma segunda opinião.
E se não forem levados a sério: INSISTAM. Com a saúde não se brinca. Isso de ir atrás de opiniões de familiares ou amigos sem formação médica, mesmo que tenham tido os mesmos sintomas, ou pior, vos recomende aquilo que tomou... é péssima ideia. Cada um de nós tem o seu corpo. Cada um que cuide do seu!

Eu realmente adorei estar internado e ainda ter sermões de pessoas que não percebem nada de medicina e que não me dirigiam a palavra há anos... E ainda ter de ouvir cada disparate!...

Vida pessoal

Aqui... ter um bom amigo ajuda. Ter alguém a dar conselhos gratuitos que não foram pedidos e regra geral são inadequados é tão útil como um rádio que só dá estática.
Os amigos são para as ocasiões.

Vida profissional

Mais um ramo onde eu ouço cada asneira...
Da última vez que me sugeriam que concorresse para um emprego na área da "contabilidade" eu respondi "Eu sou Matemático, não percebo nem nunca tive qualquer interessa na vida em contabilidade!"
Pá! Querem ajudar-me? Mandem-me propostas na área de Matemática! Mas primeiro, INVESTIGUEM o que é Matemática!

Portanto, o melhor conselheiro profissional é um profissional, ou à falta disso, estão por vossa conta e têm de ter boas ideias.

Vida familiar

Conhecem aquela expressão: "Entre marido e mulher não metas a colher"?, Caso geral: Não se metam na vida dos outros!

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Ou seja, contra quem não tem mais do que fazer a não ser meter-se na vossa vida, a teimosia e o bom senso são as maiores virtudes.
Comigo: Nem tentem. Se eu estiver a morar debaixo da ponte, e vêm para ... sinceramente me chatear com assuntos que desconhecem, prefiro continuar debaixo da ponte! Todos somos diferentes. Nascemos diferentes, temos direito a ser diferentes. Ainda vai chegar o dia em que vou pegar no meu dicionário de palavrões e aplicá-los todos a quem se acha "dono da razão", ou mesmo partir para a violência!

Temos limitações, vidas, percursos e até corpos e almas diferentes. Não sejam arrogantes ao ponto de pensar que se uma coisa funciona para vocês funciona para os outros. Que a vossa opinião está sempre certa. Regra geral ouço pessoas a falar do que não sabem! O único sítio onde pode haver certezas absolutas é na Matemática, não no mundo real.

PS Uma vez até mandaram-me desligar um computador porque estava infectado e eu podia apanhar o vírus e ficar doente... duhh! E à custa desta amostra de ignorância, na minha família algumas pessoas ficaram com o hábito de responsabilizar os computadores por tudo o que me aconteça!.


Até à próxima.

E feliz dia do PI!

Somando quadrados...

Com a chegada de calculadoras e computadores à nossa sociedade, infelizmente a capacidade de cálculo mental começa a atrofiar em muita gente. Aliás, quem acha que os matemáticos são peritos em fazer contas está tremendamente enganado. Salvo poucas excepções, muitos fogem do cálculos e delegam-nos a máquinas.
No entanto, o cálculo mental, e mesmo o tradicional, de papel e lápis deve ser tido como uma mais-valia e por essa razão, neste blog partilharei alguns truques de cálculo (peço já desculpa aos que acharem isto inútil, ou a quem eu não apresentar nada de novo).
Hoje, trago um pequeno exercício que encontrei...
Recentemente,no facebook notei que um amigo tinha esta pintura no seu mural.

(se alguém souber me dar mais detalhes sobre esta pintura..eu agradeço)
Ora, o cálculo apresentado no quadro é facilmente efectuado recorrendo à fórmula da soma de quadrados já aqui apresentada em posts anteriores.
Mas, penso que mentalmente será mais fácil proceder assim:


Já agora, vejamos como proceder recorrendo à fórmula da soma de quadrados

A fórmula da soma de quadrados dos posts anteriores é facilmente memorizável. Para somar todos os quadrados perfeitos de 1 até 9² multiplica-se 9 por 10 e por (9+10) e no fim, divide-se por 6. O resultado é 15 ×19=225+60=285.


Para somar todos os quadrados de 1 até 14² multiplica-se 14 por 15 por (14+15) e divide-se por 6. O resultado é 7×5 ×29=35×30-35=1015.

Então o resultado é (1015-285)/365=730/365=2.
Naturalmente estas resoluções não são as únicas..quem quiser partilhar mais alguma pode e deve fazê-lo.


Até à próxima.

(Des)Honestidade Académica

Quando se fala de desonestidade académica, muitas vezes ocorre-nos coisas como exames fraudelentos, copianço, entrega de trabalhos feitos por outras pessoas...
Recordo-vos que existem outros tipos de fraude académica.
Avaliações que mudam as regras a meio ou no fim do ano lectivo, notas atribuídas sem qualquer avaliação, e até, imagine-se, professores que com juízos pre-determinados limitam as opções, ou complicam mesmo a vida dos alunos.
Mas quando se fala de fraude académica, o elo mais fraco é "sempre" quem está a ser avaliado, nunca quem avalia.
Portanto, eu sou a favor da chamada "avaliação dos professores".
Quem chega ao cargo de professor deve ser periodicamente avaliado psicologicamente, e também ser periodicamente avaliado na área que lecciona. Para termos um ensino de qualidade, os professores devem ser igualmente libertos dos excessos de burocracias que muitas vezes impede que sejam preparadas boas aulas. Aliás, algumas aulas são tão más que é até imoral exigir a presença de um aluno.

Não me venham com tretas: Por melhor que seja e mais experiência que tenha um professor, uma aula pouco ou nada preparada é algo desonesto e irresponsável:com o futuro das pessoas não se brinca (o mesmo recado deve ser dado ao nossos políticos).

Este tipo de avaliação não se deve cingir ao ensino pré-universitário.
A filosofia "quero posso e mando" não pode ter lugar por ninguém em nenhum grau de ensino, e honestamente, devia ser considerada crime.

Este outro tipo de desonestidade académica é um dos muitos factores que me faz ter decidido afastar-me definitivamente de faculdades e universidades.

O fantástico número e: "limites notáveis"

   Actualmente, em Portugal, no ensino secundário, define-se e como sendo o limite:

A existência deste limite, não é analíticamente demonstrada a não ser no ensino superior, tipicamente recorrendo ao facto de a sucessão (1+1/n)^n ser monótona (crescente) e majorada (logo, limitada).

Uma consequência desta definição é o limite

Que por sua vez, (graças à definição de limite segundo Heine) leva-nos ao limite:

Este limite, conjuntamente com a continuidade do logaritmo base e pode ser utilizado, por exemplo para calcular o limite:

e, por sua vez, este último limite pode também ser utilizado para deduzir o valor de

[o primeiro passo neste último limite foi a substituição y=e^x-1]

Com simples manipulações conseguem-se demonstrar os outros "limites notáveis."
Ou seja, os "limites notáveis" associados a e são uma simples consequência da sua definição.
A importância deste último limite em particular, está no facto de ser ele o responsável pelas fórmulas de derivação das exponenciais, e também dos logaritmos.

Este post é algo que deveria ser do conhecimento geral de todo o aluno que termina o actual secundário, e que afasta a "necessidade" de calculadoras na justificação de "limites notáveis"...

Exercício: mostrar, recorrendo à definição e apenas a limites indicados nesta página que a derivada do logaritmo base e no ponto 1 é 1.

“Before you diagnose yourself with depression or low self-esteem, first make sure that you are not, in fact, surrounded by assholes.” ~William Gibson

Tenho de confessar-vos uma coisa: Livrar-se dos idiotas funciona mesmo.

Calcular limites recorrendo ao integral de Riemann (I)

A fórmula do somatório de quadrados perfeitos do post anterior, não surgiu neste blog por mero acaso. Ultimamente tenho andado a passar os olhos por este livro de exercícios:


(Custou-me 8€ numa das feiras do livro do metro de Lisboa, enquanto lá estive nas minhas tentativas frustradas de tirar um mestrado em Equações Diferenciais e Análise Numérica).

No exercício 178, é pedido para calcular o limite:
.
Ora, conhecendo a fórmula:

Este limite calcula-se muito rapidamente.
Como eu não me lembrava da formula, calculei este limite de outra forma (a forma que vou agora apresentar), e depois, seguindo o raciocínio do post anterior, deduzi a fórmula da soma dos primeiros n quadrados e voltei a calcular o limite.

O truque que eu utilizei para não recorrer à fórmula da soma de quadrados foi simples: Notei que este limite podia ser convertido num limite da definição do integral de Riemann (ou seja, no limite de uma "soma de Riemann"), no intervalo [0,1], com uma partição de n subintervalos de igual comprimento 1/n:



[Os leitores podem confirmar a minha afirmação, recorrendo à fórmula da definição de integral de Riemann]

Uma boa estratégia para detectar estas "Somas de Riemann" é isolar os k/n e tentar obter uma coisa do tipo

Σ f(k/n)×(1/n)

com k a variar entre 0 e n-1. (mas naturalmente não é a única forma...)

Até uma próxima oportunidade.

PS: obviamente, a intenção do livro do Demidovitch e companhia é que se faça isto sem recorrer a integrais porque só aparecem mais à frente, ou seja, de preferencia usando a fórmula da soma de quadrados perfeitos.

A soma dos primeiros n quadrados perfeitos, uma outra dedução

Já muita gente se deve ter cruzado com esta fórmula alguma vez na vida, e típicamente deve tê-la demonstrada facilmente recorrendo ao método de indução matemática.

No entanto, dado o seu aspecto, será pouco provável que esta fórmula tenha sido deduzida pela primeira vez recorrendo ao método de indução.

Como isto é Matemática, dificilmente há demonstrações "únicas".
Vou propor outra forma simples de demonstrar esta fórmula e outras do mesmo tipo (somas de cubos, de potencias quartas..etc)

Basta tomar:


E sabendo que é a única solução da equação com diferenças:

Basta resolvê-la.

(Saber resolver equações com diferenças é algo que devia fazer parte da cultura de todo e qualquer matemático...)

Garanto que obtêm a mesma fórmula.