A soma dos primeiros n quadrados perfeitos, uma outra dedução

Já muita gente se deve ter cruzado com esta fórmula alguma vez na vida, e típicamente deve tê-la demonstrada facilmente recorrendo ao método de indução matemática.

No entanto, dado o seu aspecto, será pouco provável que esta fórmula tenha sido deduzida pela primeira vez recorrendo ao método de indução.

Como isto é Matemática, dificilmente há demonstrações "únicas".
Vou propor outra forma simples de demonstrar esta fórmula e outras do mesmo tipo (somas de cubos, de potencias quartas..etc)

Basta tomar:


E sabendo que é a única solução da equação com diferenças:

Basta resolvê-la.

(Saber resolver equações com diferenças é algo que devia fazer parte da cultura de todo e qualquer matemático...)

Garanto que obtêm a mesma fórmula.