A área e o perímetro de polígonos regulares

Sejam R o raio da circunferência circunscrita ao polígono, L o lado do polígono e n o número de lados.
Já todos sabemos que o perímetro de um polígono regular de n lados é

E que a área é

Ap é o apótema.
Será que conseguimos fórmulas melhores?

É imediato ver que, se conhecermos R (e n):

e

Como

Pode-se resolver em ordem a R e substituir na fórmula anterior para obter a área em função do lado:

Por exemplo, num triângulo equilátero de lado L temos:

para um quadrado de lado L teremos

Para um pentágono

(Recordo que vimos há tempos que

onde ϕ é o número de ouro, e é com esse valor que se determina a tangente utilizada na área do pentágono).

Este post ocorreu-me durante uma pequena discussão no meu mural do facebook sobre o ângulo de 54º.