Distância de um ponto a uma recta Versão 1: O raio de uma circunferência tangente à recta

Hoje, apresento uma primeira dedução da fórmula da distância de um ponto a uma recta. A dedução de hoje é, como sempre, relativamente simples e apenas requer alguns conhecimentos elementares.
Prometo deduzir esta fórmula pelo menos de outras duas formas numa próxima oportunidade.

Esta dedução pode ser facilmente adaptada para o caso mais geral, da dedução da distância de um ponto a um hiperplano.
Para não variar, a dedução que apresento foi feita por mim (e acredito que muita gente será capaz de a fazer), e portanto... não me peçam bibliografia!
Um dia deixo um livro de licença livre, sem "acordo" ortográfico, publicado com algumas destas trivialidades matemáticas que se podem encontrar nos meus blogs.

Comecemos então.

Seja Ax + By + C = 0 uma equação de uma recta s do plano, e P(x_P ,y_P ) um ponto externo a essa recta. A distância de P a s é a medida do raio da circunferência de centro P que é tangente a s.
O ponto de tangência entre uma recta e uma circunferência é o único ponto em comum entre essa recta e essa circunferência.

Assim sendo, o problema de deduzir a distância de um ponto a uma recta resume-se ao problema de deduzir o único valor possível para r, o raio da circunferência, por forma a que o sistema que se segue tenha apenas uma solução

Note-se que

Pela natureza do problema (A² + B²)≠0, isto é, não podemos ter A e B simultâneamente nulos. Sem perda de generalidade vou supor que A≠0 (Alternativamente podemos supor que é B o elemento garantidamente não nulo e a demonstração é essencialmente a mesma, e o resultado final é exactamente o mesmo). Vou multiplicar a equação da circunferência por A² obtendo assim

No primeiro parêntesis posso livrar-me daqueles sinais de menos pois

Ainda neste parêntesis vou somar e subtrair By_P ficando com

Fiquei assim com a equação

posso ainda escrever

Sendo isto uma equação de segundo grau em (y -y_P ), para que tenha uma única solução temos de ter o binómio discriminante nulo, ou seja

como assumi A≠0 tenho

PS: Obviamente subentende-se que estamos a trabalhar no quadrado cartesiano do conjunto dos reais...
Exercícios:
1 - calcule a distância da origem à recta y=x+1. (Solução: raiz quadrada de dois)
2 - com base nesta dedução, indique uma expressão para as coordenadas do ponto de tangência.