Distância de um ponto a uma recta Versão 2: Um exercício com multiplicadores de Lagrange

Confesso que estou na dúvida se devia manter o título deste post. É que só há um multiplicador e nem me dei ao trabalho de calculá-lo porque não preciso dele para nada (mas sei que nas condições em que o problema está colocado, é não nulo...), no entanto, e de facto, é um problema com um multiplicador de Lagrange...
Muitas das observações que fiz na primeira versão são também válidas para esta, nomeadamente, que se trata de um caso particular da fórmula da distância de um ponto a um hiperplano, e portanto, esta dedução é facilmente adaptável para esse caso geral...

Seja Ax + By + C = 0 uma equação de uma recta s do plano, e P(x_P ,y_P ) um ponto exterior a essa recta. A distância de P a s é o mínimo da função

quando (x,y) é um ponto pertencente à recta Ax + By + C = 0.
Estamos em condições de utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange: Para o ponto (x_s,y_s) que minimiza D existe um valor λ ∈ ℝ tal que

onde g é a função g(x,y) = Ax + By + C.

Ou seja, nesse ponto, temos:

Atendendo à natureza do problema não podemos ter A e B simultaneamente nulos, portanto um deles é necessariamente não nulo. Sem perda de generalidade suponhamos que o coeficiente não nulo é B.
Dividindo as duas últimas equações temos:

Um olho mais atento, e com alguns conhecimentos de geometria analítica notará que esta é a equação verificada pelos pontos da recta perpendicular a s que passa por P.

Consequentemente o ponto P′ de intersecção entre estas duas rectas, é o ponto de s que minimiza D.
As coordenadas do ponto calculam-se facilmente (deixo como exercício para o leitor que goste de fazer contas).

E portanto a distância do ponto à recta, é o valor de D em P', ou, por outras palavras, é a distância de P a P′, ou seja

PS: Note-se que eu não provei que o ponto P'(x_s,y_s) de facto minimizava D... Assumi de princípio que havia um único ponto crítico onde há um extremo, que é mínimo
(Observe-se que é dito: "...para o ponto que minimiza...").