Uma equação vectorial da bissectriz (interna) de um ângulo

Começarei por enunciar um resultado geométrico simples que é um ingrediente fundamental para esta dedução da fórmula.
Seja [ABDC] um paralelogramo com os lados todos iguais, por outras palavras, um losango.

O segmento [AD], diagonal do losango, divide o losango em dois triângulos geometricamente iguais (critério LLL - Os lados são todos iguais). Consequentemente Se atendermos à figura, temos α = β.
Uma consequência deste resultado é que se somarmos dois vectores com a mesma norma, o vector soma fará com cada um dos vectores parcela um ângulo que terá metade da amplitude do ângulo entre os dois vectores iniciais.

Um ângulo é a porção de plano compreendida entre duas semi-rectas com a mesma origem, a que chamamos vértice. A estas semi-rectas chamamos lados do ângulo.

Note-se que, com esta definição, dois lados podem definir sempre dois ângulos.

A bissectriz de um ângulo é a semi-recta que divide um ângulo em dois ângulos iguais.
Considerem-se um ponto V e os vectores não nulos e . Com esse ponto e esses vectores constroem-se as semi-rectas com equações vectoriais:

(P ponto genérico da recta)
e

(P ponto genérico da recta)
Considere-se o menor ângulo entre estas duas semi-rectas.
Pelo que foi dito, a bissectriz deste ângulo será uma semi-recta que passa em V e que tem a direcção do vector

Ou, se preferirmos uma versão normalizada

ou seja, uma equação vectorial da bissectriz do menor ângulo entre as duas semi-rectas é

Já agora, e a título de curiosidade, a bissectriz do "maior ângulo" entre as duas semi-rectas é

.

PS: Continua...