quarta-feira, 26 de fevereiro de 2014

Uma equação vectorial da bissectriz (interna) de um ângulo

Começarei por enunciar um resultado geométrico simples que é um ingrediente fundamental para esta dedução da fórmula.
Seja [ABDC] um paralelogramo com os lados todos iguais, por outras palavras, um losango.

O segmento [AD], diagonal do losango, divide o losango em dois triângulos geometricamente iguais (critério LLL - Os lados são todos iguais). Consequentemente
∠BAD    =  ∠DAC
Se atendermos à figura, temos α = β.
Uma consequência deste resultado é que se somarmos dois vectores com a mesma norma, o vector soma fará com cada um dos vectores parcela um ângulo que terá metade da amplitude do ângulo entre os dois vectores iniciais.

Um ângulo é a porção de plano compreendida entre duas semi-rectas com a mesma origem, a que chamamos vértice. A estas semi-rectas chamamos lados do ângulo.

Note-se que, com esta definição, dois lados podem definir sempre dois ângulos.


A bissectriz de um ângulo é a semi-recta que divide um ângulo em dois ângulos iguais.

Considerem-se um ponto V e os vectores não nulos ⃗u e ⃗v.
Com esse ponto e esses vectores constroem-se as semi-rectas com equações vectoriais:
P =  V + k ⃗u;k ∈ ℝ+0

(P ponto genérico da recta)
e

P =  V + λ ⃗v;λ ∈ ℝ+0

(P ponto genérico da recta)
Considere-se o menor ângulo entre estas duas semi-rectas.
Pelo que foi dito, a bissectriz deste ângulo será uma semi-recta que passa em V e que tem a direcção do vector

 ⃗u      ⃗v
----+  ----
||⃗u||   ||⃗v||

Ou, se preferirmos uma versão normalizada

  ∥⃗v∥⃗u + ∥⃗u∥⃗v
-----------------
∥(∥⃗v∥⃗u + ∥⃗u∥⃗v)∥

ou seja, uma equação vectorial da bissectriz do menor ângulo entre as duas semi-rectas é

           (            )
P =  V + λ   -⃗u--+  -⃗v--  ;λ ∈ ℝ+
             ||⃗u||   ||⃗v||         0

Já agora, e a título de curiosidade, a bissectriz do "maior ângulo" entre as duas semi-rectas é

           (            )
             -⃗u--   -⃗v--         -
P =  V + λ   ||⃗u|| + ||⃗v||  ;λ ∈ ℝ 0

.

PS: Continua...

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