A área e o perímetro de polígonos regulares

Sejam R o raio da circunferência circunscrita ao polígono, L o lado do polígono e n o número de lados.
Já todos sabemos que o perímetro de um polígono regular de n lados é

E que a área é

Ap é o apótema.
Será que conseguimos fórmulas melhores?

É imediato ver que, se conhecermos R (e n):

e

Como

Pode-se resolver em ordem a R e substituir na fórmula anterior para obter a área em função do lado:

Por exemplo, num triângulo equilátero de lado L temos:

para um quadrado de lado L teremos

Para um pentágono

(Recordo que vimos há tempos que

onde ϕ é o número de ouro, e é com esse valor que se determina a tangente utilizada na área do pentágono).

Este post ocorreu-me durante uma pequena discussão no meu mural do facebook sobre o ângulo de 54º.

O meu próximo post é sobre àreas e perímetros de polígonos regulares...
Será postado assim que eu resolver um problema de natureza informática.
Tenho também alguma curiosidade em saber quantas pessoas o lerão se eu não o publicitar nas redes sociais.

É simples?

Dar explicações (de Matemática) a todos os graus de ensino a partir do 5º ano (inclusive) por vezes leva-me mais tempo do que eu gostaria que levasse.

Nesta semana, como noutras no passado,  acabei por não ter tempo para um post matemático...

Nos posts matemáticos daqui do blog tento trazer sempre apresentações não muito frequentes.
Para mim não é muito difícil... o meu leque de conhecimentos matemáticos é bem vasto e no caso dos textos que partilho por cá, bem... são assuntos em que pensei durante alguns minutos, em algum ponto da minha vida.
Tenho algumas breves descrições destas ideias em blocos de notas...ou em folhas que às vezes acabam por ir parar ao lixo quando estou fora de casa, por mão de alguém que não faz ideia do que está escrito...

Por exemplo, para as ampliações aos fractais que fiz para o programa "Isto é Matemática", acabei por ter de deduzir uma fórmula que  levou o seu tempo... Aliás, como tudo em ciência, e a Matemática é uma ciência.
Tentei analisar o código de alguns softwares opensource mas acabei por desistir, pois, a certa altura aquilo pareceia-me chinês (sem querer ofender os chineses).
"És um matemático ou um mero copista?" - pensamento que foi mais do que suficiente para me por no caminho certo e deduzir uma fórmula que funciona.



A parte engraçada é se um dia publicar uma possível dedução da fórmula aqui ou noutro dos meus blogs, muita gente com o leque de conhecimentos certo acabará por dizer qualquer coisa do tipo "Simples!", e de facto tem toda a razão!
Até é mesmo simples, mas as pessoas ignorarão que, contrariamente a todos os textos que já publiquei aqui até hoje, este levou-me alguns dias, nos intervalos de explicações e até o guardanapo a meio de um almoço (já agora, em S. Vicente...), a formular o problema de forma correcta,  para finalmente conseguir obter uma solução adequada.
Depois de ter chegado à solução, o difícil foi não tornar aquilo simples...
(não encontro a dedução em lado nehum, portanto também deve ter ido parar ao balde do lixo... logo, é boa ideia um dia refazer e publicar nem que seja num dos meus blogs, mas desta vez, é muito mais simples)

Aqui o "simples" é uma questão de ponto de vista... Se eu tentar explicar o raciocínio a um aluno médio de 7ºano, ele não tem nem os conhecimentos nem a maturidade para perceber um raciocínio daquele tipo.


Mesmo embora neste blog eu tente manter tudo a um nível relativamente elementar, nem toda a gente  consegue perceber textos elementares como o que escrevi sobre uma equação vectorial da bissectriz de um ângulo e qualquer uma das deduções feitas a partir dessa equação vectorial, ou o texto sobre o vértice da parábola, ou mesmo o meu infame post sobre a regra de três simples e os carecas.
Para mim, e para muita gente são coisas simples... triviais até.

Já agora... em vez da frase atribuída a Albert Einstein que está no princípio deste texto, prefiro esta, atribuída a David Hilbert:
"A mathematical theory is not to be considered complete until you have made it so clear that you can explain it to the first man whom you meet on the street."

Serei eu capaz de abordar um desconhecido na rua para falar de Matemática?
Hum... É preferível escrever num blog público na internet...

Rumo à anarquia: os alunos que não querem aprender nem deixam os outros aprender

(texto originalmente publicado aqui)
Peço que leiam este artigo.
http://dererummundi.blogspot.pt/2014/03/o-colapso-da-escola.html
A situação não é nova... há mais de duas décadas, quando eu estava no 7º ano estava numa turma onde as diferenças de idades tinham valores anormalmente grandes. Tinha eu 11 anos e tinha um colega de 16 que usava os mais novos como alvos das suas patifarias... "bullying" como se diz hoje em dia.
Lembro-me que nas aulas de ciências e mesmo Matemática, era complicado aprender alguma coisa pois o idiota não deixava uma pessoa concentrar-se.
Era tão mau que lembro-me como se fosse hoje..
Fazer queixa dele era sinónimo de arranjar problemas nos intervalos. Lembro-me uma vez de ter tido uma luva de cabedal a tapar-me o nariz e a boca...e estar prestes a perder os sentidos e de ser salvo pelos contínuos.
Nem vou falar das aulas de educação física!
Lembro-me de fazer queixa à directora de turma, e de nada me valer, de ter sido a minha mãe apresentar a situação e a professora a dizer que não sabia de nada...
(Mas, vendo bem, o que esperar de uma professora de inglês que me corrigiu quando eu disse que o Astérix era gaulês? Para ela Astérix era galês, do país de Gales)
Felizmente no 8º ano, essas pessas já não estavam na turma.... Foram substituidas por outras de igual qualidade, mas de idades mais perto da minha... O problema não era (só) a idade! Mas no 9º, depois de 2 anos a pedir para ser colocado numa turma da parte da manhã, o meu pedido foi finalmente atendido, e tive um dos anos mais calmos e mais proveitosos.
  Mesmo sem tentar esquecer as "faltas colectivas" de castigo que nos marcava o professor de Matemática que não controlava os alunos...
De notar que mesmo naquelas condições, em cada ano lectivo acabei sempre com a nota máxima em Matemática...
Quantos potenciais bons alunos não estarão a ser estragados por situações deste tipo?

Nas explicações eu tenho armas que não existem na escola:
Posso expulsar um aluno por mau comportamento ou por se recusar a trabalhar.
Aliás, explicações não funcionam com alunos nestas condições: Perturbam quem quer e precisa delas!

Não se pense que são necessários grupos grandes para isto! Os meus grupos são bem pequenos e, principalmente nos 2ºs e 3º ciclo aparece sempre alguém que está mais interessado em perturbar do que em estudar.
Mesmo com um só aluno, por vezes acontece!
Por mais interessante que seja o assunto ou a forma como está a ser ensinado ou explicado.
Nesses dias mais vale o explicando/aluno ficar em casa...
"Se não te apetece trabalhar, porque é que não ficas em casa?"
"Porque o meu pai/minha mãe não quer.".
Ok, e o que é que eu tenho a ver com isso? Vou pagar eu e os outros explicandos com as nossas paciências?
Não! Contrariamente à escola, explicações não são obrigatórias. Aliás, pela própria definição de explicações, os alunos deviam ser voluntários, portanto, eu posso e dispenso mesmo explicandos desinteressados, sempre de forma justificada..

Por vezes até se nota que o explicando veio de uma sala onde o único interessado em trabalhar foi o professor.

Não me venham condenar o professor pela falta de educação dos filhos...
O professor não tem grandes ferramentas disciplinares, e sinceramente, "dar sermões" ou gritar com os alunos nada resolve e até pode ter uma capacidade detrimental na capacidade de aprendizagem nessa aula.

Em caso de explicações, se não quer ou não está interessado, fique em casa... volte quando e se quiser, e fundamentalmente não negue o direito a quem quer!

E certamente, tendo eu uma lista de espera de alunos em explicações, não sou eu que vou ter problemas em explulsar quem não está interessado...

Pena que os professores nem sempre tenham as armas que eu tenho...

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Se é um dos meus explicandos: Sim... eu "dispenso" pessoas.

Da equação da bissectriz às coordenadas do incentro

Aviso: Nesta dedução, por comodidade, os pontos são confundidos com os seus vectores posição.
O incentro I de um triângulo é o ponto de intercecção das três bissectrizes dos angulos internos.
Se as três encontram-se no mesmo ponto então, basta determinar a intersecção de duas destas três semi-rectas.

Sejam A;B e C os vértices de um triângulo. Como é normal fazer, denominemos por a o lado oposto a A,b o lado oposto a B e c o lado oposto a C.
Como mostrei há duas (quase três) semanas , a equação da bissectriz de ∠BAC é

Ou, de forma equivalente

Uma equação vectorial da bissectriz de ∠ABC é

A intersecção é:

Logo

Ou, equivalentemente

Sendo esta última igualdade verdadeira temos de ter

E portanto

A duas dimensões, temos então

onde p é o perímetro do triângulo.
E a três dimensões temos

Nota: Em breve adicionarei uma aplicação(blog-app) a este blog que determina as coordenadas do incentro, o raio da circunferencia inscrita no triangulo, o circuncentro, o raio da circunferencia circunscrita... etc.

Dia do Pi

Hoje foi dia mundial do π

Para comemorar o dia, dei aos meus explicandos de 6º ano a versão 1.00 desta ficha
(Sem "marca d'água")

O vértice.... eh! Esperem lá!

O meu post matenático desta semana é tão elementar que optei por postá-lo no meu blog de explicações...(clique na imagem para ir lá ter)
É sobre o vértice da parábola (das funções f(x)=ax²+bx+c ).

Mas, nunca se sabe... pode apetecer-me publicar mais um ainda esta semana, aqui no blog.

PS: Não gosto do novo visual do facebook...

Da equação vectorial da bissectriz às fórmulas de bissecção de um ângulo

Sejam θ um valor entre 0^o e 180^o; V = (0, 0); = (1, 0); = (cos θ, sin θ).Com este ponto e estes dois vectores geram-se duas semi-rectas e um ângulo de amplitude θ entre elas.
Como vimos na semana passada, uma equação vectorial da bissectriz desde ângulo será então

Uma consequência imediata é

Como

Então

Que é facilmente reescrito na forma

Note-se que esta fórmula só é válida para ângulos em [0º,180º].
Para ângulos em ]180º, 360º[ pode-se adaptar este raciocínio e ter em conta que estamos a bissectar o maior ângulo entre os vectores...
Existem muitas outras formas bem mais gerais de fazer isto, e sem recorrer à equação da bissectriz. Por exemplo, uma outra via e bem mais geral é aplicar a fórmula de De Moivre para a radiciação, visto que o problema da bissecção de um ângulo é equivalente ao problema da extracção das raizes quadradas de um número complexo.
Também se deve notar que a partir das fórmulas da bissecção, obviamente, se deduzem as fórmulas da duplicação...

https://www.facebook.com/TradutoresContraAO90/posts/657695890956539