MathJax ?

No passado já testei, com sucesso limitado outras ferramentas LaTeX aqui no blog e acabei por abandoná-las... Será que é desta?
Não, parece que ainda não é desta...
Aparentemente http://www.mathjax.org/ está com problemas.
Portanto, ainda não é desta que tenho suporte LaTeX neste blog.
 Não será problema para este blog, tal como nunca foi.
 Em breve devo inaugurar o meu novo blog sobre Matemática na Wordpress, e lá terei suporte LaTeX sem problemas.
 Seja como for, aqui neste blog continuarão a haver sempre posts com Matemática.

Um exercício de geometria analítica (euclidiana).

Os posts dos passados Sábado e Domingo foram sobre o problema de Alhazen.
Hoje vou propor um mais simples e que deve ser mais facilmente resolúvel por vários leitores.

Um raio de luz é emitido do ponto P, é reflectido pelo espelho r e (o raio reflectido) passa pelo ponto S.

a) Supondo que o ponto P tem coordenadas (0,1), o ponto S tem coordenadas (-1,0) e o espelho pode ser descrito pela equação y=x 
Determine o ponto R onde o raio atinge o espelho.

b) Suponha agora que P=(-2,1), S=(7,2) e o espelho é a recta y=0.
Determine o ponto R onde o raio atinge o espelho.

c) Finalmente, suponha agora que P=(0,1), S=(8,5) e o espelho é a recta x+2y+2=0.
Determine o ponto R onde o raio atinge o espelho.

d) Consegue resolver o exercício genérico de determinar as coordenadas do ponto R quando P=(x_P,y_P); S=(x_S,y_S) e  o espelho é ax+by+c=0?

Sugestões:

• O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.
  
  
  
  
  
• Se começar pela última alínea, fica com a tarefa mais fácil para as primeiras.

Observação: o "espelho" é tecnicamente chamado "plano de incidência"

Dentro de um período não inferior a um mês, e dependendo do número de visitas a este blog escrevo aqui as soluções e partilho um documento pdf com uma possível resolução.

(Este pode ser o primeiro passo na direcção de uma resolução do problema de Alhazen, e voltarei a esta versão mais simples do problema quando voltar a falar dele)

Assuma sempre que P e S estão do mesmo lado do espelho (se em algum dos exemplos não estão, o erro está no enunciado e peço imensas desculpas por isso.

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ACTUALIZAÇÃO
(8/5/2013 20h00m) Foi feita uma correcção no enunciado na alínea a): As coordenadas de S são (-1,0)

TexMaths - Um plugin para Libre Office

Como já referi em posts anteriores, eu já não uso o Microsoft Office há alguns anos (por motivos que não são para aqui chamados como por exemplo, eu não ter dinheiro para uma licença, não existir uma versão para Linux, e eu gostar de ter software legal no meu computador.).
Para escrever Matemática escrevo em LaTeX.
Note-se que mesmo para escrever qualquer outro tipo de texto, poderia fazê-lo em LaTeX.

No entanto para certos tipos de documentos, continuo a usar um Office. Não o da Microsoft, mas uma alternativa livre chamada LibreOffice.

O LibreOffice tem um editor de fórmulas nativo, mas é... bem, eu não queria usar esta palavra, mas não há mesmo uma palavra melhor: é mau!

Felizmente, existe um plugin chamado TechMaths. O TexMaths para funcionar requer que já se tenha um compilador de LaTeX no sistema. (os utilizadores do windows podem usar o MikTeX sem problemas)

 O TexMaths permite que se escrevam as fórmulas em LaTeX na janela da extensão. A fórmula depois é compilada e inserida com bom aspecto no nosso documento LibreOffice.

Ainda não é uma solução perfeita mas é uma agradável alternativa ao edito de equações que vem.com o LibreOffice... só requer que o utilizador tenha um compilador LaTeX e ou saiba LaTeX ou tenha algum software que lhe gere o código LaTeX.

http://extensions.libreoffice.org/extension-center/texmaths-1

Acabar com mitos...

Um dos maiores erros de julgamento de pessoas da Matemática que já enfrentei foi o de confundirem matemáticos que trabalham em áreas como análise numérica, investigação operacional, ou mesmo inteligência artificial com informáticos e vice versa.
É dos erros mais estúpidos e mais reveladores da ignorância das pessoas.
Não assumam esta "ignorância" como ofensa  É um facto!
Constou-me que numa suposta instituição de ensino superior conseguiram até fundir as disciplinas de análise numérica e investigação operacional. Não fui confirmar, nem vou me dar ao trabalho.

Análise numérica é Análise Matemática. Não é Matemática computacional, não é Cálculo, não é um conjunto de receitas que se possa utilizar. A análise numérica desenvolve métodos que permitem obter boas aproximações para as soluções exactas de problemas, quando estas existem. Nasceu muito antes da informática!
Claro que esses métodos podem ser implementados computacionalmente. Ou seja, uma pessoa que trabalhe em Análise numérica, não é um "mero programador", ou uma pessoa que apenas segue algoritmos.

Regra geral um problema tem de ser bem estudado por forma a que a pessoa da análise numérica acabe por conseguir desenvolver um algoritmo que permita, num número finito de passos obter uma "boa" aproximação.
Aqui, a noção de "boa" depende do problema.

A investigação operacional lida essencialmente com problemas de optimização. Dada a natureza da Análise numérica, e mesmo da Análise Matemática, é natural que tenham algumas àreas em comum!
Ninguém de bom senso, e conhecedor cometerá o erro de fundir uma cadeira de Análise Matemática com uma cadeira de Investigação Operacional.
Porque o farão com Análise Numérica? Por ter uma componente computacional? Por ambas poderem tratar de alguns problemas em comum?
Análise Numérica e Investigação Operacional são áreas bem distintas e vastas. Tenham juízo!
Se apenas olham para as áreas com a visão muito míope de "conjunto de algoritmos" sugiro que consultem um oftalmologista.

Agora, vamos ver, confundir uma pessoa de Análise Numérica com um informático...  Acho que muito informático se sentirá ofendido com esta confusão, e vice versa. É como confundir uma ave de rapina com um réptil.
(Ninguém é réptil nem ninguém é a ave de rapina... a comparação é que é do mesmo tipo...)

Quando eu ontem disse que mostraria como é que o computador pode resolver o problema de Alhazen, não estejam à espera de uma resposta 100% informática... aliás, o tratamento será mais do tipo, 99% Matemático e 1% Informático, e digo isto porque tenho aqui várias páginas A4 manuscritas com deduções e testes de fórmulas.
Para tratar de problemas matemáticos, os computadores não fazem milagres.
Apenas executam algoritmos que são o fruto de (geralmente) muito trabalho por parte de pelo menos um matemático.

 O informático consulta o material do matemático para estas coisas...


Meu nome é Carlos Paulo e eu sou matemático *

*Embora  apenas licenciado pré-Bolonha em Matemática, e tenha tido duas frequências em  mestrados 

O problema de Alhazen

O problema de ontem, problema da reflexão de um objecto num espelho circular por forma a que a imagem reflectida passe noutro ponto, é conhecido por problema de Alhazen.

O problema pode ser enunciado de outras formas, e só requer que os pontos estejam ambos do mesmo lado do espelho, isto é, ou ambos dentro do círculo ou ambos fora.
(Outra forma natural de por este problema, é recorrendo a mesas de bilhar)

Com este nome, o leitor mais curioso pode procurar na Internet a história do problema.

Encontrei um artigo online onde o matemático Peter M. Neumann demonstra que em geral não existe uma construcção de régua e compasso que resolva o problema (Se não tem grandes conhecimentos de Álgebra moderna penso que deve se perder ao tentar ler o artigo).

Isto não significa que o problema não tenha solução! Aliás, em 1997 o próprio Peter M. Neumann apresentou uma solução algébrica para o problema, e mesmo o matemático árabe que tem o nome associado ao problema apresentou uma solução (geométrica) que recorre a cónicas, há cerca de um milénio!

Não sendo resolúvel com régua e compasso, é perfeitamente normal que muitas ideias tenham de ser deitadas fora.

Tal como sugeri ontem, a geometria analítica pode dar-nos uma forma de resolver o problema.

Um dia no futuro, deixo aqui uma blog-app onde o leitor escolhe os pontos e o computador mostra o, ou os pontos de reflexão, e nessa altura voltarei a falar do problema e de como é que o computador o resolve.

Tenho até lá para aprender a utilizar o HTML5 e JavaScript (ou bibliotecas gráficas JavaScript) para escrever essa app...

Até à próxima e bom resto de fim de semana.

Fontes:
Reflections on Reflection in a Spherical Mirror - jstor
Alhazen (wikipedia)
Alhazen's Problem (wikipedia)
http://mathworld.wolfram.com/AlhazensBilliardProblem.html

#$%&#$&%#$&%#%&#&$%... e $%/&$%/$%/$%!

Acordei há pouco.
Duvido que estejam muito interessados no que se me passa pela cabeça.
Hoje à tarde li isto
http://www.clube.spm.pt/arquivo/2119/

E desde então que anda uma ideia a perseguir-me:
"Mas isso não se consegue resolver com geometria analítica e trigonometria?"
O senhor não partilhou a solução, e eu sinceramente nem tentei resolver.
Acordei a pensar no problema e com um leque de ideias a testar.

Agora que o sono se foi, é o que vou fazer.. que remédio.
Se chegar a algum resultado, sem fazer batota, partilho...

(isto já não deve ter cura)

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Observação:"problema, que há mais de um século intrigava os matemáticos", por isso, o problema deve ser tratado com respeito e não com a arrogância de assumir que deve ser fácil e acessível.

Eu não tenho nada melhor para fazer...

Não, não é (só) para os fracos

Contrariamente a muitos optimistas cegos que andam por aí, acho que desistir não é para os fracos.
Para desistir de uma coisa mesmo importante é preciso muita coragem, ter esgotado todas as alternativas possíveis e ter pesado os custos de continuar.
Mas diariamente leio no facebook daquelas frases feitas que parece que não foram suficientemente processadas no cérebro das pessoas... Se é que passaram por lá sequer.
Todas as frases têm um contexto e as frases universais têm de ser sempre verdadeiras...
Um coisa do tipo "todos os números naturais ou são pares ou são ímpares", desde que os conceitos de naturais, pares e ímpares se mantenham é sempre verdadeira. Não vamos mudar os conceitos porque isso seria fazer batota (!).
A mim, as frases aborrecem-me. Já tive de desistir de coisas tremendamente importantes, porque pesaram factores ainda mais importantes.
Ignoro-as, nem as comento.
Ninguém desiste simplesmente porque lhe apeteceu, nem sem lutar o suficiente.
Desistir não é para os fracos. É para quem atingiu no mínimo dos mínimos um limite. Ter limites não é sinal de fraqueza, é indicativo de ser humano.

Se calhar, esperar que as pessoas compreendam isto, é esperar demais.
Felizmente, o facebook tem uma opção que não temos na vida real, a de ocultar esses disparates...
Na vida, o equivalente, é evitar as pessoas.
Longe da vista, o meu cérebro não se põe a processar esses disparates entrando em ciclos viciosos, e posso usá-lo para trabalhar em algo mais importante ou, por exemplo, ler um bom livro.

PS:Mudando um pouco de assunto e passando para o caso geral: http://www.dinheirovivo.pt/Buzz/Artigo/CIECO152304.html?page=1

Ruído na idade da informação.

A quantidade de tretas que são publicadas e mesmo noticiadas diariamente é assustadora.
E quando digo "tretas", falo no sentido literal da palavra.

Então, a partir do momento em que as pessoas têm algum tipo de ganho por isso, outros seguem-lhes o exemplo e... temos uma sociedade inundada com tretas.

Ontem sentei-me a ver vídeos no youtube.
Um dos fenómenos que pesquiso por entretenimento e não porque acredite mesmo no que mostram são vídeos sobre o fenómeno OVNIS/UFOs. Já o faço há anos e nunca encontrei um único que conseguisse sequer deixar-me com dúvidas, ou seja..tudo potenciais falsificações (não duvido que o fenómeno possa ser real, mas pessoalmente nunca vi nada que mereça credibilidade).

Com tanta informação falsa a circular conseguir fazer um trabalho minimamente sério sobre o assunto, com base em vídeos youtube seria "missão impossível".

Vamos então olhar para outra área.
No meio académico existe a filosofia "publish or perish".
Á custa desta filosofia muitos "académicos" fartam-se de publicar artigos que de facto... não trazem nada de novo.
Pessoas que fazem investigação, não porque gostam de o fazer, mas sim porque sentem a pressão de o fazer. Parece-me a motivação errada para o fazer.
Ainda me chateia mais saber que para consultar certos artigos académicos, não estando eu ligado a qualquer instituição tenha de pagar para o fazer. Quando alguém me arranja uma cópia do artigo fico ainda mais frustrado por ter perdido o meu tempo e ter feito alguém perder o seu tempo para me arranjar o artigo..

A guerra das audiências faz os canais de TV investirem em programação que vale "milhões" mas de conteúdo "nulo"...

E começo a ficar preocupado com aquilo que as pessoas acreditam "porque sim", sem utilizar a razão.
Se começassem a haver filtros na Internet para distinguir verdade de ficção, boa investigação de má investigação, realidade de treta..

Chegámos a um ponto onde a "boa" informação é mero ruído.
Mesmo classificar alguma informação de boa ou má para os outros fará de mim um ditador... ou um "líder religioso".
Acreditar que cada pessoa é capaz de utilizar o seu cérebro é..um exagero.
Se isso fosse verdade, a astrologia não daria lucro a ninguém, e ninguém teria de morrer por ter crenças diferentes...

A informação precisa de ser filtrada, organizada e disciplinada.

Bom feriado.