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Conclusão: Até agora as pessoas têm preferido Matemática.
Mas se têm facebook devem ter medo de gostar no "gosto" ou no "+1".
Ou se calhar, afinal, não gostam ou há gralhas/erros e estão a deixar-me fazer figura de parvo :)

Bem sei que posts como o de ontem ou o da semana passada são trivialidades...não gostam de trivialidades? (Não perceber trivialidades é mau...)

Ok, vou-me deixar de tretas. Obrigado a todos os que passam por cá diariamente.
Sem vocês muitas das sinapses que partilho nunca passariam de algum tipo de excentricidades que me passaram pela cabeça e que depois se perdem por não haver quem dê valor.

Mais uma vez, muito obrigado!

(Links para os posts matemáticos deste blog estão disponíveis no separador "Matemática")

Uma equação vectorial da bissectriz (interna) de um ângulo

Começarei por enunciar um resultado geométrico simples que é um ingrediente fundamental para esta dedução da fórmula.
Seja [ABDC] um paralelogramo com os lados todos iguais, por outras palavras, um losango.

O segmento [AD], diagonal do losango, divide o losango em dois triângulos geometricamente iguais (critério LLL - Os lados são todos iguais). Consequentemente Se atendermos à figura, temos α = β.
Uma consequência deste resultado é que se somarmos dois vectores com a mesma norma, o vector soma fará com cada um dos vectores parcela um ângulo que terá metade da amplitude do ângulo entre os dois vectores iniciais.

Um ângulo é a porção de plano compreendida entre duas semi-rectas com a mesma origem, a que chamamos vértice. A estas semi-rectas chamamos lados do ângulo.

Note-se que, com esta definição, dois lados podem definir sempre dois ângulos.

A bissectriz de um ângulo é a semi-recta que divide um ângulo em dois ângulos iguais.
Considerem-se um ponto V e os vectores não nulos e . Com esse ponto e esses vectores constroem-se as semi-rectas com equações vectoriais:

(P ponto genérico da recta)
e

(P ponto genérico da recta)
Considere-se o menor ângulo entre estas duas semi-rectas.
Pelo que foi dito, a bissectriz deste ângulo será uma semi-recta que passa em V e que tem a direcção do vector

Ou, se preferirmos uma versão normalizada

ou seja, uma equação vectorial da bissectriz do menor ângulo entre as duas semi-rectas é

Já agora, e a título de curiosidade, a bissectriz do "maior ângulo" entre as duas semi-rectas é

.

PS: Continua...

Qtikz & Ktikz

Ter gráficos decentes, para mim era complicado antes de ter ferramentas destas...
Requer que se saiba um bocadinho da 'linguagem' Tikz, mas podem fazer como eu: exportar o código a partir do GeoGebra e modificá-lo para satisfazer as vossas necessidades.
Está disponível em http://www.hackenberger.at/blog/ktikz-editor-for-the-tikz-language/
Este software deixa-vos visualizar o gráfico em tempo real, à medida que escrevem o código.
Depois o código é inserível em documentos LaTeX, ou podem só exportar a imagem para os formato EPS. PDF ou PNG.

Já agora, este gráfico foi utilizado para este exercício de revisão que disponibilizo no meu site de explicações...

Esquemas manhosos a proliferar...

Agora, com a crise, proliferam os "negócios estranhos" na internet.
Sugiro que se leia o que foi publicado neste blog, em Abril de 2013 .
Quando chamo estranhos, não digo que sejam ilegais.
Muitos são esquemas em pirâmide, por vezes bem camuflados, e a partir do momento que se prove que são esquemas em pirâmide, está provado que são ilegais...
"Não é pirâmide porque eu não meti ninguém e estou a receber"- dizem alguns.
Lamento, mas acho bom  informar essas pessoas que haver pessoas que "não metem ninguém", não faz com que um esquema não seja uma esquema em pirâmide...
Se precisam mesmo de uma visualização geométrica, vejam essas pessoas que não metem ninguém como "janelas " na pirâmide

Pelo menos em Portugal, esquemas reconhecidos como esquemas em pirâmide são ilegais.

Em todos estes esquemas inicialmente e durante algum tempo, as pessoas ganham dinheiro, o que as leva a publicitar o esquema e a levar outras pessoas para o negócio.
O problema é conseguir fazer com que toda a gente ganhe sempre ou a mesma quantidade ou quantidades crescentes de dinheiro sem gastar.

Esquemas como o TelexFREE, são bem estranhos, pois parece que "toda a gente ganha".
Isto vai contra o bom senso: Para uma pessoa ganhar dinheiro, outra pessoa tem de o perder.
Se todos ganham, ninguém perde... e isto é que é o que torna o esquema estranho.
Na verdade, o esquema foi montado por forma a que quem "perde" dinheiro o consiga reaver.(pelo menos até agora)..
Não é um esquema em pirâmide puro (embora tenha várias características comuns a estes esquemas). (Preferem chamar-lhe "marqueting multi-nível".)
Tenho muitas dúvidas sobre a forma como conseguirão manter o equilíbrio entre a quantidade de dinheiro que entra na empresa, e o que sai para os investidores/promotores, mas o que me parece óbvio é que para sobreviver, mais cedo ou mais tarde terá de alterar a sua forma de funcionamento - Disseram-me, enquanto escrevia este texto que as regras mudam em breve.

Não vou defender nem acusar "o esquema TelexFREE" de nada mas.. vejam isto. Está no site oficial deles quando se muda para português (apetece mesmo a dizer que é bem feito por usarem a bandeira do Brasil para o "português")
Apenas sugiro às pessoas que tentem compreender bem como é que é gerado o lucro que recebem.
Não me venham tentar explicar o que é que as pessoas têm de fazer porque conheço várias pessoas que se meteram nisso e sei o que andam a fazer, e sinceramente, na minha opinião, isso não justifica o "lucro"...
Portanto o lucro vem de outra coisa qualquer que é o segredo do negócio, e para bem de toda a gente que se meteu nisso, espero que seja legítimo.

Como este, existem mil e um outros esquemas, e há sempre alguém a tentar levar-me para esses esquemas, mas a minha resposta é sempre não (considero-me uma pessoa honesta e quero manter-me assim).
Não me venham com a conversa do "és teimoso, isto é bom..." ou, "quem não acredita, tem sempre desculpa". Vão lá tentar vender o vosso peixe para outro lado.

Eu não quero nada com "esquemas manhosos".
Sou uma pessoa racional, sou matemático, e ainda sei fazer contas para perceber quando há desiquilíbrios.
(Embora baste um bocadinho de bom senso...).
Em qualquer sítio, tem de haver equilíbrio entre o que entra e o que sai (a tal "auto-sustentabilidade" de que falei aqui).
Este equilíbrio aliás, foi o que serviu de inspiração a Lavoisier para enunciar o princípio de conservação da matéria....
Por outras palavras, "dinheiro não cai do céu".

Em época de crise, a tentação do lucro fácil pode fazer muita gente cair em "contos do vigário", ou tentar ganhar imenso dinheiro em esqumas manhosos (que, quando rebentam dão muito prejuízo).
Portanto apelo ao espírito crítico e ao bom senso das pesssoas: não defendam com unhas e dentes esquema nenhum.por mais convencidas que estejam (o marketing... perdão, lavagem cerebral de algumas destas empresas é muito bom )

Observação: Este texto foi revisto após a sua publicação original.

http://visao.sapo.pt/contra-o-corte-cego-da-consoante-muda=f625724

Distância de um ponto a uma recta Versão 2: Um exercício com multiplicadores de Lagrange

Confesso que estou na dúvida se devia manter o título deste post. É que só há um multiplicador e nem me dei ao trabalho de calculá-lo porque não preciso dele para nada (mas sei que nas condições em que o problema está colocado, é não nulo...), no entanto, e de facto, é um problema com um multiplicador de Lagrange...
Muitas das observações que fiz na primeira versão são também válidas para esta, nomeadamente, que se trata de um caso particular da fórmula da distância de um ponto a um hiperplano, e portanto, esta dedução é facilmente adaptável para esse caso geral...

Seja Ax + By + C = 0 uma equação de uma recta s do plano, e P(x_P ,y_P ) um ponto exterior a essa recta. A distância de P a s é o mínimo da função

quando (x,y) é um ponto pertencente à recta Ax + By + C = 0.
Estamos em condições de utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange: Para o ponto (x_s,y_s) que minimiza D existe um valor λ ∈ ℝ tal que

onde g é a função g(x,y) = Ax + By + C.

Ou seja, nesse ponto, temos:

Atendendo à natureza do problema não podemos ter A e B simultaneamente nulos, portanto um deles é necessariamente não nulo. Sem perda de generalidade suponhamos que o coeficiente não nulo é B.
Dividindo as duas últimas equações temos:

Um olho mais atento, e com alguns conhecimentos de geometria analítica notará que esta é a equação verificada pelos pontos da recta perpendicular a s que passa por P.

Consequentemente o ponto P′ de intersecção entre estas duas rectas, é o ponto de s que minimiza D.
As coordenadas do ponto calculam-se facilmente (deixo como exercício para o leitor que goste de fazer contas).

E portanto a distância do ponto à recta, é o valor de D em P', ou, por outras palavras, é a distância de P a P′, ou seja

PS: Note-se que eu não provei que o ponto P'(x_s,y_s) de facto minimizava D... Assumi de princípio que havia um único ponto crítico onde há um extremo, que é mínimo
(Observe-se que é dito: "...para o ponto que minimiza...").

Distância de um ponto a uma recta Versão 1: O raio de uma circunferência tangente à recta

Hoje, apresento uma primeira dedução da fórmula da distância de um ponto a uma recta. A dedução de hoje é, como sempre, relativamente simples e apenas requer alguns conhecimentos elementares.
Prometo deduzir esta fórmula pelo menos de outras duas formas numa próxima oportunidade.

Esta dedução pode ser facilmente adaptada para o caso mais geral, da dedução da distância de um ponto a um hiperplano.
Para não variar, a dedução que apresento foi feita por mim (e acredito que muita gente será capaz de a fazer), e portanto... não me peçam bibliografia!
Um dia deixo um livro de licença livre, sem "acordo" ortográfico, publicado com algumas destas trivialidades matemáticas que se podem encontrar nos meus blogs.

Comecemos então.

Seja Ax + By + C = 0 uma equação de uma recta s do plano, e P(x_P ,y_P ) um ponto externo a essa recta. A distância de P a s é a medida do raio da circunferência de centro P que é tangente a s.
O ponto de tangência entre uma recta e uma circunferência é o único ponto em comum entre essa recta e essa circunferência.

Assim sendo, o problema de deduzir a distância de um ponto a uma recta resume-se ao problema de deduzir o único valor possível para r, o raio da circunferência, por forma a que o sistema que se segue tenha apenas uma solução

Note-se que

Pela natureza do problema (A² + B²)≠0, isto é, não podemos ter A e B simultâneamente nulos. Sem perda de generalidade vou supor que A≠0 (Alternativamente podemos supor que é B o elemento garantidamente não nulo e a demonstração é essencialmente a mesma, e o resultado final é exactamente o mesmo). Vou multiplicar a equação da circunferência por A² obtendo assim

No primeiro parêntesis posso livrar-me daqueles sinais de menos pois

Ainda neste parêntesis vou somar e subtrair By_P ficando com

Fiquei assim com a equação

posso ainda escrever

Sendo isto uma equação de segundo grau em (y -y_P ), para que tenha uma única solução temos de ter o binómio discriminante nulo, ou seja

como assumi A≠0 tenho

PS: Obviamente subentende-se que estamos a trabalhar no quadrado cartesiano do conjunto dos reais...
Exercícios:
1 - calcule a distância da origem à recta y=x+1. (Solução: raiz quadrada de dois)
2 - com base nesta dedução, indique uma expressão para as coordenadas do ponto de tangência.

O dia dos vídeos no facebook...

A última moda no facebook são vídeos que contam a história do utilizador no facebook.
Um dos meus contactos partilhou este vídeo
(OBS: Eu não tenho qualquer cor política...)
Porque raios o facebook insiste em por "compartilhou" em vez de partilhou? Há alguma razão lógica para um português em Portugal usar "compartilhar" em vez de "partilhar?"
(Desculpem, mas a esta hora não saio da cama para ir buscar o dicionário... Se alguém souber pode deixar-me a resposta nos comentários a este post)

A equação da mediatriz de um segmento

Considerem-se os pontos A(x_A,y_A) e B(x_B,y_B)
Como se sabe a mediatriz do segmento [AB] é o conjunto dos pontos P(x,y) tais que

ou seja,

Assim, uma equação completa da recta é

e se esta recta não for vertical (y_B≠y_A), a equação reduzida é

No caso de a recta ser vertical, a equação resume-se a x=α , e deixo ao leitor o trabalho de dar o valor (óbvio) de α. Se alguém estiver interessado, poderá deduzir estas equações a partir da definição de mediatriz como recta perpendicular ao segmento que passa no seu ponto médio.
Aqui neste blog, estas equações serão úteis em posts futuros... (e não há mais spoilers)

Este post surge porque é frequente pedir aos alunos de 10º e 11º de Matemática A para determinarem a equação da mediatriz de um segmento. Embora as abordagens sejam diferentes em cada um dos anos naturalmente as equações são equivalentes, e no caso da equação reduzida, são exactamente a mesma!
Deixo aqui a abordagem de 10º ano, mas a abordagem de 11º conduzirá às mesmas fórmulas.
(para os de 11º, a mediatriz é a recta perpendicular ao segmento que passa no ponto médio deste). Naturalmente não se pede a ninguém que memorize estas fórmulas. Mas, em vez de usarem a memória das calculadoras gráficas para introduzir cábulas sugiro que os alunos peguem nos manuais das calculadoras, aprendam um mínimo de programação, peguem na equação deduzida neste post e escrevam um programinha que peça as coordenadas dos pontos e devolva ao utilizador ou uma equação da mediatriz, ou os coeficientes que lhes interessarem...

Por falar em praxes...Ok, é diferente!

No meu primeiro dia na universidade (sim, no século passado, portanto uma carlospaulice do século XX), cheguei tarde à aula de Análise Matemática I.
Espreitei para dentro da sala e vi um tipo a copiar de uma capa para o quadro. Esperei alguns minutos, e o tipo continuava a copiar da capa para o quadro...
"Isto só pode ser praxe"- Pensei.
Fui-me embora...
No dia seguinte, chego à mesma sala e estava o mesmo indivíduo a copiar da capa para o quadro.
"Isto é mesmo aula?" - perguntei a um colega.
"É sim...Estou aqui a pensar que se um de nós lhe roubasse a capa não havia aula" - respondeu-me o meu colega.
E de facto aquele foi o indivíduo que durante um semestre nos deu Análise I a copiar da capa para o quadro...
Há coisas que não são, mas parecem praxes...

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Hoje transportei o código da videoteca para o meu blog de explicações...
Embora eu seja o autor do código, a tarefa está a revelar-se uma bela dor de cabeça...