Intersecção de Circunferências em coordenadas rectangulares Parte 1: um exemplo

Como foi visto na primeira parte do post sobre tangentes a uma circunferência que passam num ponto exterior, uma possível construção da solução passa pela intersecção de circunferências. Do ponto de vista da geometria analítica, estaremos perante uma tarefa fácil? Existirá uma forma geral "visualmente agradável" para a intersecção de circunferências?

Começarei com um exemplo simples: Quais as coordenadas dos pontos de intersecção das circunferências cujas equações são:

e

A minha sugestão, para resolver situações deste tipo é esta: desenvolvem-se os quadrados dos binómios de cada equação e subtraem-se as duas equações. A equação que resulta da subtracção, como veremos mais tarde, é a equação de uma recta perpendicular à recta que passa pelos centros das circunferências. Neste caso temos:

E subtraindo a segunda equação da primeira temos

Que é a tal recta, que contém os pontos de intersecção. Para determinar os pontos de intersecção, basta intersectar esta recta com uma das circunferências.

Ou seja:

Portanto

E esta é a técnica a seguir sempre. Infelizmente, seguir estes passos por forma a obter uma fórmula para o caso geral, tem o inconveniente de não nos dar uma fórmula muito amigável, como veremos na próxima parte.

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PS: Não é propriamente necessário desenvolver os quadrados: se uma pessoa se lembrar que existe uma fórmula habitualmente designada por fórmula da diferença de quadrados, basta subtrair as equações iniciais...