Geometria analítica: Rotações no plano

Seja P um ponto do plano, e R_O,θ a aplicação (ou função) que faz corresponder a P o ponto P′ do plano correspondente a uma rotação de centro na origem O, por um ângulo de amplitude θ.

Exemplos:
R_O,(1, 0) =
R_O, =
R_O, =
R_O, =
R_O, =

A primeira questão que se impõe é a de saber se conseguimos obter uma expressão genérica para R_O,θ(a,b).

Sim, conseguimos. Há muitas formas de o fazer, mas eu vou enveredar por uma que recorre a números complexos.

(a,b) é o afixo do complexo z = a + bi, que tem módulo ρ = |z| = e argumento α, por outras palavras, é o afixo de z = a + bi = ρ cis α
R_O,θ(a,b) é o afixo de ω = ρ cis (α + θ).

Mas

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Uma nota para as pessoas com conhecimentos de álgebra linear: R_O,θ é uma aplicação linear e à matriz desta aplicação chamamos matriz rotação.

E se o centro da rotação não for O, se for um ponto C fixo no plano?

A essa rotação chamaremos R_C,θ. O problema resolve-se facilmente fazendo uma translacção para a origem, efectuando a rotação e desfazendo a translacção.

Por outras palavras:

Próximo post: rotações no espaço

Observações:

• Na última fórmula, no 2º membro da igualdade estou a confundir propositadamente C com o seu vector posição. É um abuso de notação, mas que será habitual aqui neste blog, nos meus posts, que tem a vantagem de não tornar a notação "muito pesada".
• Estes dois posts sobre rotações surgem antes de regressar às secções cónicas para que eu possa utilizar estas ideias e notações
• Eventualmente terei de escrever um mapa de notações para este blog...
• Se houver interesse por parte dos leitores deste blog, um dia coloco um link, neste mesmo post, com exercícios.