No espaço, as rotações são feitas em torno de uma recta orientada, a que vou
chamar eixo de rotação.
A orientação da recta é importante para se poder ter
também um sentido positivo para a rotação.
Comecemos com três rotações simples: as rotações em torno dos eixos coordenados:
Seja P um ponto do espaço, e ROz,θ a aplicação (ou função) que faz
corresponder a P o ponto P′ do espaço correspondente a uma rotação em torno do
eixo Oz, por um ângulo positivo de amplitude θ.
Exemplos:
ROz,(1, 0,-1) =
ROz, =
ROz, =
ROz, =
(z é um número real fixo);
Neste caso particular, consegue-se reaproveitar a fórmula do post anterior para rotações no plano, em torno da origem:

Ainda se consegue aproveitar esta fórmula para rotações em torno dos outros eixos. Uma rotação em torno do eixo Ox será ROx,θ e verificará a fórmula:

Da mesma forma uma rotação em torno do eixo Oy será ROy,θ

Passemos agora para o caso mais interessante, em que o eixo de rotação passa
pela origem e tem a direcção de um vector arbitrário = (rx,ry,rz).
Aqui o truque consiste em compor as aplicações anteriores.
Vou mostrar uma forma de efectuar a rotação(mas como poderão perceber, obviamente não é a única)
Seja α o ângulo que a projecção ortogonal de faz sobre o plano xOy, e φ o
ângulo que
faz com o semieixo positivo Oz
Então

(poderá querer fazer alguns esboços para se convencer disto)
E se o eixo de rotação for uma recta s, paralela a um eixo de rotação que não passa pela origem?
A essa rotação chamaremos Rs,θ. O problema resolve-se facilmente, de forma
análoga ao caso das rotações no plano, fazendo uma translacção para um eixo que
passe pela origem a que o eixo de rotação é paralelo, efectuando a rotação e
desfazendo a translacção.
- Nesta primeira versão, que pode-se considerar uma mera introdução evitei conscientemente alguns assuntos e alguns cálculos
- Um dia mais tarde penso que voltarei ao assunto ainda neste blog. Por isso deixei no título aquele "1ª versão"
- Nos próximos posts mostrarei algumas aplicações práticas destes dois últimos posts
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