Geometria analítica Da superfície cónica de revolução às secções cónicas Parte 0 : Introdução

Começo hoje a resolver um pequeno exercício de geometria.
Tipicamente, sempre que se introduzem as cónicas nas aulas de Matemática nas nossas escolas secundárias ou (apenas) no ensino superior, diz-se que são curvas que se obtêm seccionando um cone. e depois deduzem-se as equações a partir das propriedades focais, ou então, a partir da definição com foco e directriz, nunca se mostrando, por exemplo as equivalências entre as definições.
A equivalência entre as definições de cónica como secção de um cone e cónica como conjunto de pontos cujo quociente entre as distâncias a um ponto fixo (chamado foco) e uma recta (chamada directriz) é constante (constante a que se chama excentricidade) podem ser mostradas recorrendo apenas a geometria euclidiana... sem recorrer a qualquer sistema de coordenadas, aliás, foi assim que os gregos as estudaram.
Encontrei recentemente na blogosfera estes três links, que deixo para os leitores mais interessados:
http://paramanands.blogspot.pt/2012/06/conics-and-the-cone-part-1.html
http://paramanands.blogspot.pt/2012/06/conics-and-the-cone-part-2.html
http://paramanands.blogspot.pt/2012/06/conics-and-the-cone-part-3.html
E as propriedades focais das cónicas (elipse é o conjunto dos pontos em que a soma das distancias aos focos é constante, e hipérbole é o conjunto dos pontos em que o módulo das diferenças das distancias aos focos é constante ) pode ser deduzida a partir da própria definição de cónica como secção de um cone, recorrendo às esferas de Dandelin. O tratamento sem geometria analítica é algo que recomendo a todas as pessoas que gostam de Matemática e principalmente de Geometria.
Comparado com as demonstrações anteriores, o que vou apresentar agora é algo infantil, e que espero ser acessível e reproduzível por toda a gente com algum conhecimento de geometria analítica.
O título do post não poderia ser mais específico.
Para quem dispuser de algum tempo livre e queira tentar por si próprio, pode tentar começar por deduzir a equação de um cone de revolução, fixando um ponto no semieixo positivo Oz e considerando uma circunferência de raio r no plano xOy, e naturalmente, centrada na origem.
(Só que eu preferia que consultassem e lessem como deve ser os links que deixei neste post)

Se preferirem esperar por mim... é só até ao próximo post.
Até à próxima!

continua num próximo post

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Nota do autor: O texto original sofreu algumas alterações/correcções desde a sua publicação original.