Um país irresponsável, um acordo dispensável e uma opinião muito pessoal

Como disse há dias, uma das poucas medidas tomadas por este governo em educação e com que concordo é com a revisão dos programas de Matemática do ensino básico.

Mas de resto, no que diz respeito a ensino básico e secundário...
De resto a história é outra.
O braço de ferro entre governo e sindicatos dos professores tem as vítimas habituais: os alunos.
É indecente. Com o futuro das pessoas não se brinca.
(E, na minha vida... já o fizeram muitas vezes acabando eu na ridícula situação em que estou, a dar explicações num sítio com muito poucos alunos...e a receber muito abaixo do salário mínimo,... motivação: procura-se)
As atitudes deste governo têm sido dignas de um governo de ditadura, e curiosamente, vejo muita gente a tomar posição contra os professores.

Eu acho indecente o que está a ser feito na educação, e ainda mais indecente ver quem, para não variar, não sabe o que diz, a se opor às opiniões de quem lida diariamente com os problemas que estas medidas trazem.
Na prática, o governo quer reduzir custos de qualquer forma para pagar aquilo que provavelmente é a dívida mais mal explicada da história da humanidade, onde certamente há muita corrupção (e até se sabe de muitos desvios), e muita pressão externa de um trio que inclui uma organização que vergonhosamente no ano passado foi galardoada com o prémio Nobel da Paz.

Portugal está prestes a explodir. A quantidade de revoltados aumenta diariamente.
A acusação de que "Portugal vive acima das suas possibilidades" não deve ser feita  aos portugueses mas sim a quem criou esta dívida como se não tivesse de a pagar.
Ninguém vai preso. Os responsáveis andam por aí impunes e vivem à grande e à francesa.
Desesperado por arranjar dinheiro, o governo toma medidas impensáveis e muitas vezes ridiculamente estúpidas, mas que demonstram o desespero que quem ou não sabe o que fazer...
Pessoalmente, eu acho melhor ser criada uma equipa que investigue para onde foi o dinheiro.. e que o vá lá buscar, ou as coisas mais cedo ou mais tarde vão ficar feias em Portugal.

Posso falar do Acordo ortográfico?

Além de tudo ainda oponho-me à imposição do Acordo Ortográfico em todos os países de expressão Portuguesa.
Mas acho que deve ser cada povo a tratar da sua casa, cada um sabe o que é bom para si.

Aliás... ás vezes pergunto-me:"Sendo por exemplo, Brasil tão grande, como é que a população consegue aceitar este acordo?"
Parece-me é que as pessoas confiam naqueles que os assinaram e nem pararam para olhar para ele...
Não quero interferir, quero compreender.
Por cá, primeiro olhámos para o acordo. As intenções eram boas, mas o acordo não cumpre os seus objectivos e cria mais problemas e diferenças entre os restantes países de expressão portuguesa e o Brasil. Parece-me um bom motivo para não confiar em quem prestou tão mau serviço á comunidade de língua portuguesa.
E mesmo se esquecermos as diferenças ortográficas entre os dois países que ficam mais acentuadas, há imensas outras coisas que não fazem sentido.
(por exemplo a queda do c de "facto" tornou-o em "fato" que em Portugal e penso que também nos PALOP designa bem... um traje, e o mais ridículo é que pessoas que sempre pronunciaram o c, deixaram de o pronunciar graças ao acordo... por cá a ortografia estupidamente começa a afectar a oralidade)
Eu vou continuar a falar apenas das diferenças entre Portugal e Brasil, mas não tenho nada contra os PALOP, Timor e Macau. Embora na teoria saiba o que se passa, prefiro que sejam essas regiões a falar das suas diferenças que não devem ser muito diferentes das que cito, mas devem incluir características próprias.
Não conheço suficientemente os PALOP nem Timor  para falar por eles.

No Brasil e em Portugal usam-se palavras diferentes para as mesmas coisas.
Nenhum Acordo Ortográfico resolve isso, (e este então... nem se fala).
Algum português pai passar a dizer "trem" em vez de "comboio" só por este Acordo Ortográfico?
É este acordo que vai fazer "usuário" passar a ser "utilizador"? "Arquivo" passar a ser "ficheiro"?
"Sistema Operacional" passar a ser "Sistema Operativo"'? "A integral de Riemann" passar a ser "O integral de Riemann"?
A resposta é clara: Não! Os brasileiros tomaram conta da wikipedia de lingua portuguesa e estão dessa forma a impor a sua forma de escrever e de certa forma até a sua cultura ao resto dos países de lingua portuguesa. Isto não é bom! Se todos fossemos brasileiros, tudo bem.. mas não somos! Seria bom criar-se uma Wikipedia em Português do Brasil (ou, porque não, brasileiro?)
Eles usam "Fórmula de Bhaskara" para a fórmula resolvente (das equações polinomiais de 2º grau") Seremos todos obrigados a usar uma designação que só eles usam? Sabem quantos matemáticos na história da humanidade, para alem desse senhor, antes e depois desse senhor,  trabalharam com equações do segundo grau? "Fórmula resolvente" parece-me mais adequado. Mas atenção: No Brasil têm todo o direito e legitimidade para usar a designação que bem lhes apetecer. Só que sendo a Wikipedia um local público este tipo de "imposição" fica mal...
Voltando ao AO, passa-se a mesma coisa, país nenhum tem moralidade de impor nada a nível de ortografia aos outros. O ideal seria um acordo entre todos os países que falam Português e que viesse a progressivamente reduzir uma degradação da língua, e "acordos" unilaterais por parte de um país ou outro que queira continuar a chamar Português à sua língua.

Embora estas razões possam ter estado na origem do AO90 este acordo não nos resolve problema nenhum! Este acordo não resolve diferenças nenhumas, nem mesmo a grafia fica unida.
"Confecção" que sempre foi "confecção" em ambos os países passa a ser "confeção" em Portugal e mantém-se "confecção" no Brasil.
Este acordo não tem algumas falhas, todo ele é falha de princípio ao fim.
Fico com a sensação de que feito e assinado por pessoas que procuram o prestígio a qualquer custo!
Querem um acordo, façam um melhor trabalho!
Citei apenas alguns exemplos mas diariamente vêm-se dezenas nos jornais, televisões e internet...

Mas, cada país sabe de si, e eu não tenho moral nem carisma para dizer seja lá o que for a países estrangeiros... apenas quero ser entendido se afinal de contas falamos todos a mesma língua...
Esta é somente a minha opinião de cidadão desempregado português que não vive às custas do estado...
Ou seja, estatisticamente falando,  não sou ninguém e a minha opinião de nada vale.

Portugal foi um país pessimamente gerido no pós 25 de Abril de 1974, tal como tem sido muitas vezes ao longo da história. Os erros do passado repetem-se e ninguém aprende com eles.
Tomam-se medidas mal pensadas e mal estudas por uma minoria que apenas pretende "se mostrar" e ter prestígio e não para para pensar seriamente no assunto ( e se o faz... é preferível demitir-se porque está a mostrar-se incapaz).

Lamento viver num país que tem sido governado por uma classe de irresponsáveis com uma miopia tão grande, e olhem que eu sou míope no sentido literal da palavra.

Até à próxima

PS: Em breve vou rever o texto para corrigir falhas gramaticais e ortográficas..

Desenhar Fractais de Newton

Antes de começar quero fazer o leitor notar que o C de fractal não é nem nunca foi mudo, nem antes nem depois do maldito "acordo ortográfico", portanto, pronuncie o c!
A palavra fractal surgiu nos anos 70 do século XX, e deve-se a Benoit Madelbrot.
Na literatura portuguesa penso que surgiu pela primeira vez nas traduções da equipa do professor Carlos Fiolhais da Universidade de Coimbra (corrijam-me se estiver enganado)

As expressões que vou deixar entre aspas, têm um uma razão para isso: são expressões que têm alguma imprecisão do pornto de vista rigoroso, mas que tornam a explicação mais acessível ao leitor.

O que é um "fractal de Newton"?
Como o leitor sabe, os pontos  (a,b) do plano podem ser identificados com os números complexos z=a+bi.

Seja f uma função contínua e diferenciável, complexa de variável complexa (portanto, holomorfa).
Suponhamos que "para cada número complexo z₀ " se constrói  a sucessão z_n+1=z_n - f(z_n)/f'(z_n)
Estão esta sucessão ou diverge, ou converge para um dos zeros de f.
(é fácil pereber porquê: é a sucessão associada ao método das tangentes / método de Newton-Raphson/método de Newton)

De acordo com a "velocidade" da convergência e com o ponto para a qual a sucessão converge, pode-se dar uma cor ao ponto do plano correspondente a z₀.
Á imagem obtida no final é habitual chamar "fractal de Newton"

 O leitor mais interessado pode ler as legendas dos fractais de Newton que tenho ou no meu facebook ou, preferencialmente, no meu deviantArt

A primeira vez que pensei em desenhar uma destas figuras, não conhecia o conceito da literatura, e, tinha acabado recentemente a licenciatura (ou seja, também estava desempregado).
 Por outras palavras, também cheguei a eles por mim próprio, e com uma abordagem um pouco simplista:
Sabendo que a sucessão podia não convergir eu queria saber quais os pontos para os quais a sucessão convergia e quais os que levavam a sucessão a divergir
(basta aquela derivada no denominador da fracção se anular...)
Não tendo conseguido resolver o problema analiticamente de forma que considerasse satisfatória,
Sentei-me à frente do computador e escrevi, na altura, em TurboPascal, um programa que pintava apenas os potenciais pontos que davam origem a divergência, depois, noutra versão convergência.
Depois numa 3ª ocorreu-me a pintar os pontos em função do numero de passos que levava a convergir, com uma certa margem de erro, e finalmente numa 4ª a pintar em função do número de passos e do zero para o qual a sucessão se aproximava..

Após ter visto as primeiras imagens geradas, percebi que já tinha me cruzado com algumas delas como "arte" para capítulos de alguns livros...  nomeadamente, capítulos com números complexos.

Deixei aqui a ideia intuitiva do método. Para uma ideia mais analítica e rigorosa destas figuras vou sugerir a leitura do artigo da wikipedia sobre fractais de Newton, e prometo fazer uma exposição mais "pesada", um dia, no futuro, num dos meus blogs...

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• Wikipedia: Benoit Madelbrot
• Uma conversa com Mandelbrot  ( Nuno Crato- Expresso:2010 )
• Wikipedia: Newton Fractal

Vem aí a nova geração de consolas...

Já estão anunciadas as novas consolas Playstation 4 e Xbox One .
Como desempregado de longa duração eu nem tive uma direito a uma consola da geração anterior.
Mas diga-se de passagem que não me fez muita falta.
Quando se compra uma consola há a ter em conta que a despesa não se fica pela consola.
Há o preço de cada jogo, de cada extra e agora também dos serviços ou de acesso a redes próprias via internet.
E fora isso tudo, ainda convém pensar no tempo que se vai gastar à frente da consola.
Se a ideia é comprar uma consola para as crianças em casa, pense bem no que vai fazer... e tenha cuidado com os jogos: Os jogos têm faixas etárias e classificações por bons motivos!
Não venha depois com a desculpa estúpida de que o seu filho deu um tiro num polícia com uma arma impressa numa impressora 3D na escola ou na empresa do trabalho dos papás porque jogou o último  GTA.
 [A propósito, quero mandar um cumprimento muito especial á Rockstar pelo excelente trabalho nos jogos GTA]

Desculpem lá.. Sony e Microsoft. Se querem que eu compre uma consola, jogos, etc então dêm-me um emprego bem pago e tempo para poder beneficiar da consola.

Sou licenciado em Matemática Pré-Bolonha e frequentei dois mestrados. E é um facto que  já fui aprovado a mais cadeiras/disciplinas do que pessoas com licenciaturas à bolonhesa e dois mestrados de Bolonha!
(e mesmo de disciplinas que actualmente fazem parte de mestrados e pós-graduações)
Não, não vou fazer uma análise às consolas.. só vou dizer que gostava de ter acesso ao poder de computação de qualquer uma delas...

cálculos 10/06/2013

Estas equações e cálculos vêm na sequência do meu post de ontem.
Escrevi-os directamente no computador sem ter rabiscado nada em papel.
Sem mais explicações, algum leitor interessado sabe explicá-los?

Até que ponto utilizar a última fórmula é boa (ou má) ideia?
[A esta 2ª questão ainda não tenho resposta pois só deduzi a fórmula e não pensei nela ainda...]

Fractais em resolução Quad Hd

Hoje, Domingo, passei pelo meu devianArt e cheguei à conclusão que devia tentar aumentar as resoluções de alguns fractais.
No que diz respeito aos fractais de Newton fui ao meu código C++ do fractal em tons de cinzentos da equação Z³-1=0  - é uma das imagens que acompanha o título deste blog.
Simplesmente aumentei a resolução para Quad HD (3840×2160).

Para meu choque, a imagem ficou pronta em muito poucos segundos... Decidi então aumentar as resoluções de todos os outros que lá estão e criar uns novos, recorrendo a equações polinomiais em que eu é que vou escolher os locais dos zeros...

 Em breve dou mais notícias.

Arquivo da internet

Ontem fui parar ao site http://wayback.archive.org/.
Pelo que percebi, é um site que de certa forma arquiva a internet!
 Encontrei por lá algumas cópias (que podiam estar melhores, convenhamos) das minhas antigas páginas:
No entanto, tendo em conta a forma como eu tinha os sites programados, ainda não encontrei uma cópia 100% fiel nem funcional.

Por exemplo:
 A primeira versão do meu site pessoal na UMa (vê-se melhor em versões antigas do Internet Explorer)

Existem cerca de 28 cópias distintas do meu site pessoal, mas infelizmente nenhuma está... decente!
Desde links que não funcionam a misturas de versões do site na mesma "foto"..
Seja como for, gostei do conceito.

Estive a ver outras páginas, como a primeira versão da wikipedia, de http://www.rtp.pt  e até do google!

Achei piada a ver a notícia nesse antigo site da RTP: "No «Dragão», só o Benfica ganhou!"... é mesmo passado.

Por hoje é tudo.

Bom fim de semana prolongado.

O número de OuroParte 3: O pentagrama e o coseno de 36º

Na figura foi desenhada uma circunferência de centro O e raio R. Dividiu-se a circunfêrencia em cinco partes iguais e utilizaram-se pontos de divisão como vértices para o pentágono [ABCDE].
Traçaram-se as diagonais [AC], [BD], [CE], [DA], [EB], ficando desenhado um pentagrama.
Os pontos F,G,I,J,K são pontos de intersecções das diagonais, tal como sugere a figura.
Os arcos AB,BC,CD,DE e EA têm todos medida ou amplitude = 72^o.
É então imediato que:

• ∠CBD = = 36⁰
• ∠DBE = = 36⁰
• ∠ABE = = 36⁰
• ∠ABE = = 36⁰
• ∠ACB = = 36⁰
• ∠BAC = = 36⁰

E portanto

• ∠CBF = ∠CBD + ∠DBE = 36⁰ + 36⁰ = 72⁰
• ∠CFB = 180⁰ - (∠ACB + ∠CBF) = 72⁰

Assim sendo △[BCF] e △[GBF] são semelhantes, pois têm dois ângulos internos com a mesma amplitude:

e

Tendo dois ângulos iguais, em geometria euclidiana tem automaticamente os 3 ângulos internos iguais, portanto os triângulos são semelhantes. Mais ainda, como cada um deles tem dois ângulos internos de 72⁰, os triângulos são ambos isósceles.
Para simplificar a notação, faça-se CG = a e GF = b.

A razão de semelhança entre estes dois triângulos é:

Ou, na outra notação,

Mas se atendermos à forma como foi definido o número de ouro no primeiro post, verificamos que esta razão é o número de ouro!

Uma consequência imediata é que a = bϕ.
Ao aplicarmos a identidade conhecida como analogia dos senos ao △[GBF] temos então:

Como sin(2α) = 2sinα cosα então

E então

De onde sai

Sabendo este valor rapidamente se deduzem os valores das razões trigonométricas de 18^o,36^o,54^o,72^o, se quisermos, em função de ϕ.
Assim sendo, não é de estranhar que ϕ surja associado a várias igualdades relacionadas com o pentágono ou o pentagrama.

Outra forma de obter as razões trigonométricas de 36º é obter a fórmula para sin (5α) em função de sin α e depois, igualá-la a zero e resolver a equação de 5º grau...

O número de ouro parte 2: relação com a sucessão de Fibonacci

A sucessão de Fibonacci é a sucessão de números naturais:

onde cada termo é a soma dos dois termos imediatamente anteriores.
Há quem comece a sucessão em zero, o que convenhamos, mais à frente poderia simplificar-me as contas.
Formalmente pode-se escrever:

Portanto, F₃ = F₂ + F₁ = 1 + 1 = 2;F₄ = F₃ + F₂ = 2 + 1 = 3... etecetera.
Mas podemos olhar para

como uma equação, uma equação de diferenças.
Vimos no post anterior que por exemplo u_n = ϕⁿ é uma solução desta equação, mas infelizmente as imagens de 1 e de 2 não são 1...
Sem querer dar um curso intensivo de equações de diferenças, vou mostrar como podemos resolver esta equação e deixar umas notas entre parêntesis para os leitores com conhecimentos por exemplo,... de Álgebra Linear.
Vamos começar por procurar soluções da forma

Com r≠0
Porquê desta forma?
Porque já sabemos que existe uma solução desta forma para esta equação de diferenças.
Substituindo na equação temos:

Dividindo ambos os membros da equação por r^n-1 obtemos:

ou equivalentemente

Equação a que é comum chamar equação característica da equação de diferenças. Como vimos no final do post anterior, as soluções desta equação são:

Ou, se preferir,

Na prática isto significa que as sucessões de termos gerais

São soluções da equação de diferenças.
Se pegar em duas constantes arbitrárias C₁ e C₂ e construir a sucessão

verifica que a sucessão de termo geral f_n é solução da equação.
Na verdade, a expressão

é uma expressão geral para todas as soluções da equação de diferenças F_n+1 = F_n + F_n-1
(É relativamente simples demonstrar que o espaço das soluções desta equação de diferenças é um subespaço vectorial do espaço das sucessões reais, que tem dimensão 2, e que as sucessões u_n = ϕⁿ e v_n = (1 - ϕ)ⁿ são linearmente independentes. e portanto que a expressão obtida para f_n é uma expressão geral para todas as soluções da equação)

Só precisamos de saber quais os valores de C₁ e de C₂ que tornam f_nna sucessão de Fibonacci.
Para f_n ser a sucessão de Fibonacci tem de verificar f₁ = 1 e f₂ = 1 ou seja

As propriedades do número de ouro permitem reescrever isto na forma:

Resolvendo o sistema temos:

E portanto a expressão geral da sucessão de Fibonacci é:

Ou, se preferirmos a notação inicial

Só a título de curiosidade, note que 2ϕ - 1 = .
A expressão geral pode ser útil por exemplo para calcular o limite:

Ou seja, a sucessão das razões entre um termo e o termo imediatamente anterior da sucessão de Fibonacci tende para o número de ouro!

continua