O número de OuroParte 3: O pentagrama e o coseno de 36º

Na figura foi desenhada uma circunferência de centro O e raio R. Dividiu-se a circunfêrencia em cinco partes iguais e utilizaram-se pontos de divisão como vértices para o pentágono [ABCDE].
Traçaram-se as diagonais [AC], [BD], [CE], [DA], [EB], ficando desenhado um pentagrama.
Os pontos F,G,I,J,K são pontos de intersecções das diagonais, tal como sugere a figura.
Os arcos AB,BC,CD,DE e EA têm todos medida ou amplitude = 72^o.
É então imediato que:

• ∠CBD = = 36⁰
• ∠DBE = = 36⁰
• ∠ABE = = 36⁰
• ∠ABE = = 36⁰
• ∠ACB = = 36⁰
• ∠BAC = = 36⁰

E portanto

• ∠CBF = ∠CBD + ∠DBE = 36⁰ + 36⁰ = 72⁰
• ∠CFB = 180⁰ - (∠ACB + ∠CBF) = 72⁰

Assim sendo △[BCF] e △[GBF] são semelhantes, pois têm dois ângulos internos com a mesma amplitude:

e

Tendo dois ângulos iguais, em geometria euclidiana tem automaticamente os 3 ângulos internos iguais, portanto os triângulos são semelhantes. Mais ainda, como cada um deles tem dois ângulos internos de 72⁰, os triângulos são ambos isósceles.
Para simplificar a notação, faça-se CG = a e GF = b.

A razão de semelhança entre estes dois triângulos é:

Ou, na outra notação,

Mas se atendermos à forma como foi definido o número de ouro no primeiro post, verificamos que esta razão é o número de ouro!

Uma consequência imediata é que a = bϕ.
Ao aplicarmos a identidade conhecida como analogia dos senos ao △[GBF] temos então:

Como sin(2α) = 2sinα cosα então

E então

De onde sai

Sabendo este valor rapidamente se deduzem os valores das razões trigonométricas de 18^o,36^o,54^o,72^o, se quisermos, em função de ϕ.
Assim sendo, não é de estranhar que ϕ surja associado a várias igualdades relacionadas com o pentágono ou o pentagrama.

Outra forma de obter as razões trigonométricas de 36º é obter a fórmula para sin (5α) em função de sin α e depois, igualá-la a zero e resolver a equação de 5º grau...