O número de ouro parte 2: relação com a sucessão de Fibonacci

A sucessão de Fibonacci é a sucessão de números naturais:

onde cada termo é a soma dos dois termos imediatamente anteriores.
Há quem comece a sucessão em zero, o que convenhamos, mais à frente poderia simplificar-me as contas.
Formalmente pode-se escrever:

Portanto, F₃ = F₂ + F₁ = 1 + 1 = 2;F₄ = F₃ + F₂ = 2 + 1 = 3... etecetera.
Mas podemos olhar para

como uma equação, uma equação de diferenças.
Vimos no post anterior que por exemplo u_n = ϕⁿ é uma solução desta equação, mas infelizmente as imagens de 1 e de 2 não são 1...
Sem querer dar um curso intensivo de equações de diferenças, vou mostrar como podemos resolver esta equação e deixar umas notas entre parêntesis para os leitores com conhecimentos por exemplo,... de Álgebra Linear.
Vamos começar por procurar soluções da forma

Com r≠0
Porquê desta forma?
Porque já sabemos que existe uma solução desta forma para esta equação de diferenças.
Substituindo na equação temos:

Dividindo ambos os membros da equação por r^n-1 obtemos:

ou equivalentemente

Equação a que é comum chamar equação característica da equação de diferenças. Como vimos no final do post anterior, as soluções desta equação são:

Ou, se preferir,

Na prática isto significa que as sucessões de termos gerais

São soluções da equação de diferenças.
Se pegar em duas constantes arbitrárias C₁ e C₂ e construir a sucessão

verifica que a sucessão de termo geral f_n é solução da equação.
Na verdade, a expressão

é uma expressão geral para todas as soluções da equação de diferenças F_n+1 = F_n + F_n-1
(É relativamente simples demonstrar que o espaço das soluções desta equação de diferenças é um subespaço vectorial do espaço das sucessões reais, que tem dimensão 2, e que as sucessões u_n = ϕⁿ e v_n = (1 - ϕ)ⁿ são linearmente independentes. e portanto que a expressão obtida para f_n é uma expressão geral para todas as soluções da equação)

Só precisamos de saber quais os valores de C₁ e de C₂ que tornam f_nna sucessão de Fibonacci.
Para f_n ser a sucessão de Fibonacci tem de verificar f₁ = 1 e f₂ = 1 ou seja

As propriedades do número de ouro permitem reescrever isto na forma:

Resolvendo o sistema temos:

E portanto a expressão geral da sucessão de Fibonacci é:

Ou, se preferirmos a notação inicial

Só a título de curiosidade, note que 2ϕ - 1 = .
A expressão geral pode ser útil por exemplo para calcular o limite:

Ou seja, a sucessão das razões entre um termo e o termo imediatamente anterior da sucessão de Fibonacci tende para o número de ouro!

continua