O número de ouro - parte 1

Hoje começo uma pequena série de posts sobre o número de ouro.
O que é o número de ouro?
Dados dois comprimentos a e b, diz-se que estão na razão dourada se a razão entre a soma deles e o maior for igual á razão entre o maior e o mais pequeno.
Á razão chama-se número de ouro e representa-se habitualmente por ϕ.
Matematicamente escreve-se

Isto pode escrever-se de outra forma, e com essa forma deduzir algumas propriedades de ϕ

Esta última fórmula permite-me escrever...

A este desenvolvimento chamamos fracção contínua (infinita).
Voltando a

Se multiplicarmos cada um dos membros desta igualdade por ϕⁿ, onde n designa um número inteiro arbitrário, obtemos:

Note-se que esta igualdade, mostra-nos que a sucessão de termo geral u_n = ϕⁿ é solução da equação de diferenças

Que é a equação de diferenças associada à mundialmente famosa sucessão de Fibonacci (não se preocupe se não a conhecer... eu vou voltar a falar dela).
A fómula anterior condensa muitas das propriedades do número de ouro.
Por exemplo

ou

Esta igualdade em particular permite-nos determinar o valor exacto de ϕ

portanto ϕ é solução positiva da equação x² -x- 1 = 0
As soluções desta equação são

Como ϕ é a solução positiva temos:

continua

O número de ouro foi-me apresentado quando eu estava no 10º ano.