Valor aproximado VS valor exacto.

(Texto revisto e ampliado)
O "problema do espelho" que propus há pouco mais de um mês é equivalente ao problema de ter duas bolas de bilhar sobre uma mesa  e saber para que ponto da mesa se deve dirigir uma das bolas  para "fazer tabela" e chocar na outra.

Ora, este problema "é resolvido" diariamente em milhões de mesas de bilhar em todo o planeta.
A solução obtida geralmente não é a solução exacta, mas sim uma solução aproximada.

Determinar matematicamente a solução exacta pode ser um problema um pouco mais trabalhoso, e no caso das mesas de bilhar, absurdo.

Voltando ao "problema do espelho",
Se espreitarem as soluções até podem ver que uma delas foi obtida intersectando uma hipérbole com o espelho..
-- Ninguém no seu perfeito juízo pensa em hipérboles quando joga bilhar!

No entanto, a obtenção de soluções exactas, é, sempre que possível, uma das delícias da Matemática e podem até ser muito úteis em vários problemas, na medida em que quando estamos em cálculos intermédios, os valores exactos não permitem que se acumulem erros de aproximação.

Ninguém nega que ter uma solução exacta para um problema exacto é sempre o ideal.
Mas será mesmo sempre necessário ou possível ter uma solução exacta para um problema aproximado?

O mais estranho ainda é que até existem problemas "aproximados" que têm soluções exactas... quando o problema exacto não tem qualquer solução.

Regressemos aos problemas exactos com soluções aproximadas.
A equação x=cos x tem uma e uma só solução exacta. É possível demonstrá-lo por exemplo recorrendo ao teorema de Bolzano e ao teorema do valor médio de Lagrange, ou ao Princípio de Contracção, também conhecido como teorema do ponto fixo de Banach.
Qual é o valor exacto?
Bem, é o número real φ tal que cos φ=φ
Só que dizer isto não nos diz absolutamente nada... Se vos disser que

(naturalmente, em radianos...)
Então se calhar estarei a dar-vos uma informação sobre φ que vos permite situar o número e até utilizá-lo com uma margem de erro que provavelmente será inferior a qualquer uma que venha a precisar,

O mesmo se passa com o  nosso velho amigo  π.
 π. é o quociente entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência, e aparece em imensos sítios da Matemática, mas... tal como φ tem o inconveniente de ter um valor exacto com infinitas casas decimais, sem qualquer padrão.
Será preferível também dar um valor aproximado:

`
Uma forma de minimizar erros quando trabalhamos com estes números é utilizar um símbolo que o represente sem ambiguidade até ao fim dos cálculos.
Na prática é isto que é habitual fazer em Matemática quando temos o luxo de só ter números exactos.

Escrever simplesmente π evita ter de escrever N decimais e andar com os erros de aproximação associados atrás...

Quem diz π, diz por exemplo o número de ouro, raizes quadradas, cúbicas, indice N, logaritmos, integrais..
Mas não nos fiquemos pelos números.
Séries de pontencias ou séries de Fourier truncadas também são o equivalente a expansões decimais com muitos algarismos, só que no âmbito de  funções, que podem ser soluções de equações diferenciais e não terem uma forma mais simples ou compacta de ser escritas..

O problema de se ter uma solução exacta "fechada" nem sempre tem solução, e nesse caso, as soluções aproximadas são o melhor que temos.
Mas mesmo quando temos uma solução "fechada", nem sempre é prático trabalhar com ela e por isso também se recorrem a aproximações.
Por vezes conseguem-se sucessões teóricas de aproximações que nos permitem determinar rigorosamente soluções exactas.

Na vida real, cada problema é um problema e a melhor "solução" (exacta ou aproximada) depende muito do problema, daquilo que dispomos para o resolver, e do tempo que temos disponível... E um erro de cálculos ou utilizar a precisão errada podem ter consequências catastróficas.