CarlosPaulices no século XXI [até 2019]: Desenhar Fractais de Newton

quarta-feira, 12 de junho de 2013

Desenhar Fractais de Newton

Antes de começar quero fazer o leitor notar que o C de fractal não é nem nunca foi mudo, nem antes nem depois do maldito "acordo ortográfico", portanto, pronuncie o c!
A palavra fractal surgiu nos anos 70 do século XX, e deve-se a Benoit Madelbrot.
Na literatura portuguesa penso que surgiu pela primeira vez nas traduções da equipa do professor Carlos Fiolhais da Universidade de Coimbra (corrijam-me se estiver enganado)

As expressões que vou deixar entre aspas, têm um uma razão para isso: são expressões que têm alguma imprecisão do pornto de vista rigoroso, mas que tornam a explicação mais acessível ao leitor.

O que é um "fractal de Newton"?
Como o leitor sabe, os pontos (a,b) do plano podem ser identificados com os números complexos z=a+bi.

Seja f uma função contínua e diferenciável, complexa de variável complexa (portanto, holomorfa).
Suponhamos que "para cada número complexo z₀ " se constrói a sucessão z_n+1=z_n- f(z_n)/f'(z_n)
Estão esta sucessão ou diverge, ou converge para um dos zeros de f.
(é fácil pereber porquê: é a sucessão associada ao método das tangentes / método de Newton-Raphson/método de Newton)

De acordo com a "velocidade" da convergência e com o ponto para a qual a sucessão converge, pode-se dar uma cor ao ponto do plano correspondente a z₀.
Á imagem obtida no final é habitual chamar "fractal de Newton"

O leitor mais interessado pode ler as legendas dos fractais de Newton que tenho ou no meu facebook ou, preferencialmente, no meu deviantArt

A primeira vez que pensei em desenhar uma destas figuras, não conhecia o conceito da literatura, e, tinha acabado recentemente a licenciatura (ou seja, também estava desempregado).
Por outras palavras, também cheguei a eles por mim próprio, e com uma abordagem um pouco simplista:
Sabendo que a sucessão podia não convergir eu queria saber quais os pontos para os quais a sucessão convergia e quais os que levavam a sucessão a divergir
(basta aquela derivada no denominador da fracção se anular...)
Não tendo conseguido resolver o problema analiticamente de forma que considerasse satisfatória,
Sentei-me à frente do computador e escrevi, na altura, em TurboPascal, um programa que pintava apenas os potenciais pontos que davam origem a divergência, depois, noutra versão convergência.
Depois numa 3ª ocorreu-me a pintar os pontos em função do numero de passos que levava a convergir, com uma certa margem de erro, e finalmente numa 4ª a pintar em função do número de passos e do zero para o qual a sucessão se aproximava..

Após ter visto as primeiras imagens geradas, percebi que já tinha me cruzado com algumas delas como "arte" para capítulos de alguns livros... nomeadamente, capítulos com números complexos.

Deixei aqui a ideia intuitiva do método. Para uma ideia mais analítica e rigorosa destas figuras vou sugerir a leitura do artigo da wikipedia sobre fractais de Newton, e prometo fazer uma exposição mais "pesada", um dia, no futuro, num dos meus blogs...