quinta-feira, 16 de maio de 2013

(mais) Um exercício resolvido...

Considere-se a equação.
x3 - 2x - 4 = 0
Num post anterior vimos que uma solução real era:
       ∘----∘----- ∘ ----∘----
x  =   32 +   100+  32 -   100
              27           27
       ┌│ (----√-)3-- ┌│ (----√--)3-
       3│∘      -3-    │∘3     --3
   =      1+  3    +     1-  3
          √-      √ -
   =  1 + -3-+ 1- --3
           3       3
   =  2

Eu disse que, recorrendo à fórmula de Tartaglia era fácil mostrar que as outras soluções eram -1 ± i, e propus ao leitor deste blog que tentasse obtê-las.
É o que vou fazer.
Se ainda não tentou, PARE!
Tente e depois volte cá.
Mais uma vez recorde-se que:
x = α + β

α é uma raíz cúbica de
     ∘ -2----3
- q +  q +  p-
 2     4    27
β = --p-
     3α

Então:
                   ┌ -----------
      ∘ ----∘----  ││ (    √ -)3
α  =   32 +   100= ∘3  1+ --3
              27           3
      (    √ -)
   =    1+ --3  cis2πk-;k ∈ ℤ
            3       3
         p
β  =  - ---
        3α
   =   -(---√-2)------
       3 1+ -33 cis2πk3-
          2      (  2πk)
   =   (---√-)cis - ----
       3(+  3√ -)     3
       2-3----3--  (  2πk-)
   =   ( 2  √-2) cis  - 3
       (3 -√-3)
       3 -  3    (  2πk)
   =   ---3---cis - -3--
      (    √ -)    (     )
   =    1- --3  cis  - 2πk-
            3          3
e portanto
      (    √ -)    (    )  (    √ -)    (     )
x  =    1+ --3  cis 2πk-  +  1- --3  cis - 2πk-
            3        3           3          3
       -------2-------
   =    (    √3)   2πk
       3 1+  3  cis 3          √ -
         ( 2πk)      (  2πk)     3(   ( 2πk)      (  2πk) )
   =  cis  -3-- + cis  - -3-- + -3- cis  -3-- - cis  - -3--
           (    )   √ -    (    )
   =  2 cos  2πk- +  2-3isin  2πk--
       (   √-3)       3        3
       -3---3--  (  2πk-)
   =      3   cis  - 3   ;k ∈ {0,1,2}
E temos aqui uma fórmula genérica para as soluções da equação.
Para k = 0 temos
           2√3         ′
x = 2 cos0 +-3--isin0 = 20 = 2
Para k = 1 temos
       (   )    √ -    (   )      (   )    √ -   √ -
x = 2cos 2π- + 2--3isin  2π-  = 2×  - 1  + 2--3i× --3= - 1+ i
          3      3       3           2     3      2

Para k = 2 temos
        (   )    √ -   (   )       (   )    √-    (  √-)
x = 2cos  4π- + 2--3isin  4π- = 2 ×  - 1  + 2-3-i×  - -3-  = - 1- i
          3      3        3           2     3         2
Não era fácil?
Estes posts são gerados recorrendo ao conversor de LaTeX para HTML Tex4ht e a uma ferramenta da minha autoria que facilita (imenso) o transporte das imagens/equações para o blog.
Seja como for, não tenciono tornar este blog num repositório de cálculos...
Até à próxima. 
Carlos Paulo

quarta-feira, 15 de maio de 2013

Quem visita este blog
e o (des)interesse em publicidade.



De acordo com o site revolvermaps.com eu nem estou mal servido no que diz respeito a visitas ao meu material na internet,
Sou visitado diariamente principalmente por pessoas de Portugal e Brasil, e esporadicamente por pessoas das outras regiões assinaladas no mapa.

Mas de acordo com os dados da minha conta Google Adsense, a conta que gere a publicidade que podem ver por aqui, a publicidade que passa por este blog deve ser menos interessante do que aquela que passa a meio de um filme às quatro da manhã.
Todos os sites com anúncios recebem por cada clique/visita ao site do anunciante, e as regras proíbem explicitamente entre outras coisas, que se apele descaradamente ao clique (eu não o estou a fazer, estou a explicar-vos como isto funciona).
Assim sendo, e sem querer invadir a privacidade de ninguém, ter de andar a vos espiar ou recorrer a estudos de mercado eu gostaria de saber em que tipo de publicidade estão os leitores interessados?
A sério. Acho que em vez de andar com tretas, e em vez de violar as regras do Google adsense, prefiro perguntar-vos directamente o que é que gostariam de ver em publicidade, sabendo que "nenhuma" e coisas específicas para maiores de 18, religiões e exoterismo não são opção.
Deixarei ali na barra ao lado, uma sondagem durante dois meses.
Peço-vos que participem honestamente, visto que dada a crise, esta é uma das minhas fontes de rendimento.
Assim poderei (tentar) ajustar a publicidade.

Cumprimentos, 
Carlos Paulo

terça-feira, 14 de maio de 2013

Equações polinomiais do 3º grau.
A Fórmula de Tartaglia
Parte 2: Dois exemplos.

Considere-se a equação.
x3 - 3x + 2 = 0
   √ ---  √ ---   √---
x = 3- 1+ 3 - 1 = 2 3- 1

Certo?
Bem... Se estivermos a pensar na raiz cúbica como função real de variável real, sim, está certo, visto que a raiz cúbica real está univocamente determinada, isto é cada número real tem uma e apenas uma raiz cúbica.
Mas se estivermos a pensar na raiz cúbica de variável complexa, o caso muda de figura.
A raíz cúbica, em não está univocamente determinada.
A fórmula de De Moivre dá-nos três valores distintos para √3---
  - 1 :
       π   1   √-
z1 = cis3 = 2 + i 3
z2 = cisπ =π- 11  √ -
z3 = cis- 3 = 2 - i 3

E então a soma x = √3---
  - 1 + 3√ ---
  - 1 pode designar a soma de quaisquer duas destas raízes. É fácil notar que nem 2z1 nem 2z3 nem z1 + z2 nem z2 + z3 são soluções da equação.
Então, como devemos proceder para determinar apenas soluções da equação?
Voltemos à dedução da fórmula (rever aqui).
Vímos que:
x = α + β
onde
αβ = - p
      3
e α é uma raíz cúbica de
     ∘ -2----3
- q +  q +  p-
 2     4    27
Tendo determinado α, β é também unívocamente determinado pela fórmula
β = --p-
     3α
Assim, no nosso caso as soluções xj serão:
        - 3       1
xj = zj - 3zj = zj + zj
x1 = cisπ-+ cis - π-= 2cos π-= 1
       3        3       3
        -1        -1-
x2 = z2 + z2 = - 1 + - 1 = - 2
         1        π     π
x3 = z3 +--= cis- --+ cis--= 1
         z3       3      3
Não pense que este será o único tipo de problemas a enfrentar quando usa a fórmula de Tartaglia.
Consideremos agora a equação
x3 - 2x - 4 = 0

Cuja solução real, dada pela fórmula é:
    ∘ ---------  ∘ ---------
     3   ∘ -100-   3   ∘ 100-  ∘3----10√--  3∘ ---10√---
x =   2 +   27-+   2-   -27 =   2+  9- 3 +   2- -9  3
Temos um problema "sério": É possível simplificar isto?
Uma forma de tentar fazê-lo é recordar que
(a± b)3 = a3 ±3a2b +3ab2 ± b3
e tentar manipular os dados por forma a obter um desenvolvimento destes. Neste caso...
                 (     )
    10√ -             1  √-
2 ± 9   3 =   2±  1 + 9   3
                      (    3 )√ -
          =   (1+ 1)±  1 + -3   3
                          (3  )
          =   13 ± √3 + 1+  3- √3-
                            33
                     √3      1   √33
          =   1± 3×  3--+ 3× 3 ± -33-
                     √-      √ -2  √ -3
          =   1± 3×  -3-+ 3× --3-± --3-
              (      3)       32    33
                   √3  3
          =    1 ± -3-
E portanto
       ∘---------  ∘ ---------
       3    ∘ 100-  3    ∘-100
x  =    2 +   ---+   2 -   ---
       ┌ -----27---- ┌ ----27-----
       ││ (    √3)3   ││ (    √3-)3
   =   3∘  1+  ---  + ∘3  1- ---
              3              3
          √3      √3
   =  1 + -3-+ 1- -3-
   =  2
Tendo esta solução, recorrendo a métodos de deflação, facilmente se obtêm as outras duas soluções, que são -1 ± i.
Será fácil obtê-las também recorrendo directamente à fórmula de Tartaglia?
(Sim, é! Pode tentar fazê-lo...e depois consultar a minha resolução aqui).
Note-se que a manipulação que nos levou a simplificar o resultado nem sempre é fácil, nem temos garantia de que tal simplificação seja efectuável ou que o resultado da soma 
x = α + β
seja inteiro ou racional...
(Continua num próximo post)

segunda-feira, 13 de maio de 2013

Adeus LaTeX. Olá pre-compilador offline

Estive a fazer um teste com o meu irmão e decidi remover o compilador LaTeX.

Entretanto notámos que os utilizadores de Mozilla-Firefox, que é um bom browser, não conseguiam ver algumas fórmulas no post da dedução da fórmula de Tartaglia.

A solução passou por pré-compilar os textos LaTeX e carregar as imagens/fórmulas para um servidor, e depois postar aqui, por forma a acelerar o carregamento das páginas e não estar dependente de uma ferramenta com bugs que não controlo.

Bug...corrigido, e TPC.

Hoje ao juntar mais um episódio de "Isto é Matemática" à videoteca, notei que o script da videoteca, totalmente escrito por mim e o utilizado pelo conversor LaTeX (que compila as equações para escrever aqui no blog) têm algum tipo de incompatibilidade.

Passei algum tempo, e lá arranjei uma solução, e acabei por não ficar com tempo para o texto que ia escrever.

O a videoteca voltou a funcionar correctamente.
Em breve, continuarei o texto sobre a fórmula de Tartaglia.

Deixo como exercício obter as 3 soluções (reais) da equação
  x3-3x+2=0

recorrendo apenas à fórmula de Tartaglia e sem recorrer à regra de Ruffini ou a qualquer outro método de deflação.
Sugiro que durante a resolução preste atenção à dedução da fórmula.
Até amanhã.

domingo, 12 de maio de 2013

Os bons, os maus e eu

Por estes dias anda a circular pela Internet um vídeo viral onde um individuo é visto a "dar uma lição de moral" a uma professora.
Pelo que ele diz, o problema daquelas aulas é que passam mais tempo a ler do que a aprender.

Bem, agora que toda a gente tem uma câmara no telemóvel estes casos vão começar a surgir mais vezes.
Se isso contribuir para uma melhoria na qualidade do ensino, acho bem. Se vier apenas para dar espectáculo... raios partam esta sociedade!

Nos meus 21* anos de estudante  eu apanhei professores de muitos tipos.
Vários excelentes, muitos muito bons, imensos bons, duas mãos cheias de maus.
No fim, só há dois tipos de professores que ficam nas nossas memórias. Os bons, por serem bons, e os péssimos, pelos motivos opostos.

Professor é uma profissão tremendamente importante, e quem não tem vocação para o fazer nem devia estar no lugar, pois está a estragar o futuro de muita gente.


Lamento Erasmo, o mundo não é perfeito. Há professores que deviam estar noutra profissão.

O mau
O que é que faz um professor cair na categoria de mau?
Há muitos tipos de maus professores, por isso é complicado responder a isto.
Eu também já tive professores que se sentavam à mesa e se punham simplesmente a ler folhas ou o manual.
E sim, é verdade, com esses não aprendi nada ou quase nada.
Algures ainda antes de chegar ao secundário, aprendi a ler os livros em casa.
Em muitos assuntos aprendi muito mais do que nessas "aulas de leitura", e o hábito ficou..

 No superior, os maus aumentaram drasticamente.
Lembro-me particularmente de umas aulas práticas de introdução à programação onde só ligámos o computador três vezes.
Mais uma vez tive de tomar a iniciativa e passar tempo à frente do computador, a aprender o que devia ter aprendido nas aulas.
O que chateia é estes indivíduos fazerem-nos perder tempo a ir a estas aulas tornando-as obrigatórias.

Outro foi um que passava as aulas a apresentar acetatos com fórmulas...
Mas esse, eu já estava vacinado..
"As aulas são sempre assim? Se são eu fico em casa."
"As práticas são piores"
"Ah bom..."

Baldei-me às aulas e tive o melhor exame da disciplina.

Houve outras aulas de outras disciplinas a que não tive hipótese de assistir por doença ou por sobreposição de horários por no ano anterior ter passado imenso tempo hospitalizado, e que fizeram imensa falta, como no caso da última disciplina que fiz na licenciatura, e que sem espanto foi a minha pior nota.
Aliás, as minhas piores notas não se deveram a maus professores, mas sim à minha saúde.

Tive vários tipos de maus.
Os que não preparavam aulas e metiam os pés pelas mãos. Os que simplesmente copiavam de um papel para o quadro e depois atrapalhavam-se com questões simples. Os que exigiam que soubéssemos coisas que nunca fizeram parte sequer dos programas das nossas disciplinas/curso e penalizavam-nos pelas lacunas e fizeram avaliações bem injustas (tive um que uma vez distribuiu notas entre 10 e 12 sem qualquer tipo de avaliação porque assumiu "que nós não percebíamos nada do assunto...")
E então, em ambos os mestrados que frequentei, mas principalmente no primeiro,  bem, dava para escrever um livro.
Mas a minha maior dúvida que ficou desse 1º é:

" Como é que só com dois alunos se pode fazer tanta trampa numa só disciplina?".
Outra é: "para que é que nos pedem certa documentação se nem olham para ela?".

Enfim... Vamos passar aos bons porque dos maus ainda não contei nada e só as memórias conseguem dar-me tonturas (!).

O Bom

Felizmente, há bons professores e estão longe de ser uma minoria. Encontrei esta imagem no facebook

E de facto mostra uma das grandes características de todos os bons professores: Está preparado.
Muita gente ignora o que essa preparação custou.
O bom professor não dá aulas que possam ser consideradas "perda de tempo".
O bom professor está à vontade na área que ensina  (ou se não está, aparenta estar).
O bom professor não é aquele que nos facilita as avaliações e só dá boas notas. O bom professor é aquele que ensina.

Existe uma comunidade no facebook, o grupo "eu agradeço a um professor"  , que tem a capacidade de de vez em quando me fazer lembrar de todos os bons professores que tive.
Lembro-me de pelo menos dois que uma vez até se deram ao trabalho de se deslocar à faculdade só para me dar uma aula extra. ou dos que me visitaram/contactaram há dois anos no hospital Garcia Orta, onde estive internado algumas semanas.

Ainda hoje, de vez em quando mantenho contacto com eles. Aliás, com o nascer das redes sociais, consegui coleccionar alguns por lá.
Espero não lhes ter dado maus vícios.

Para concluir partilho uma lista frases que deixei há uns anos numa nota numa rede social:

The art of teaching is the art of assisting discovery.  ~Mark Van Doren

Who dares to teach must never cease to learn.  ~John Cotton Dana

 I like a teacher who gives you something to take home to think about besides homework.  ~Lily Tomlin as "Edith Ann"

A good teacher is like a candle - it consumes itself to light the way for others.  ~Author Unknown

Good teachers are costly, but bad teachers cost more.  ~Bob Talbert

What the teacher is, is more important than what he teaches.  ~Karl Menninger

Don't try to fix the students, fix ourselves first.
The good teacher makes the poor student good and the good student superior.  When our students fail, we, as teachers, too, have failed.  ~Marva Collins

-O professor medíocre conta. O bom professor explica. O professor superior demonstra. O grande professor inspira.

Teaching is leaving a vestige of one self in the development of another.  And surely the student is a bank where you can deposit your most precious treasures.  ~Eugene P. Bertin


-Um professor afecta a eternidade; é impossível dizer até onde vai sua influencia

A teacher who is attempting to teach without inspiring the pupil with a desire to learn is hammering on cold iron.  ~Horace Mann

The best teachers teach from the heart, not from the book.  ~Author Unknown


Bom resto de fim de semana

* Na verdade, mesmo fora do ensino acho que sempre sempre serei estudante, para além de qualquer outra coisa que eu faça na vida para garantir a minha subsistência,.

sábado, 11 de maio de 2013

Equações polinomiais do 3º grau:
A fórmula de Tartaglia



Hoje como mais um exemplo de aplicação do post anterior, vamos obter uma fórmula resolvente para as equações incompletas de 3o grau do tipo
x^3 + px + q = 0

Procuremos soluções do tipo x=α+β. 
Substituindo na equação temos:
α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3 + p(α + β)+ q = 0

⇔  α3 + 3αβ(α + β)+ β3 + p(α +β )+ q = 0

⇔  α3 + β3 + q+ (3αβ + p)(α+ β ) = 0

Sendo α e β variáveis podemos impor algumas condições sobre elas por forma a que se possam exprimir apenas à custa de p e q
Assim, vou impor que:
 3   3
α + β  = - q ∧3αβ + p = 0

   3    3             p
⇔ α  + β = - q∧ αβ = -3

                          3
⇒  α3 + β3 = - q ∧α3β3 = - p
                         27

Note-se que o último par de equações mostra-nos uma fórmula para a soma e para os produtos dos cubos de α e β. 
Assim, podemos recorrer à ideia do post anterior e sabemos que α3 e ß3 são as soluções da equação:
2       p3
z + qz - 27 = 0

Aplicando a fórmula resolvente das equações polinomiais de 2o grau temos:
        ∘ ------3        ∘ -------
   - q±   q2 + 4p27    q     q2   p3
z =-------2------ = -2 ±   4 +  27-

Temos liberdade para escolher qual das soluções será α3 e qual será ß3
         ∘ -------           ∘ -------
α3 = - q+   q2 + p3;β3 = - q - q2 + p3
      2     4   27       2     4    27

E portanto:
    ∘ -----∘---------    ∘ -----∘---------
     3  q     q2  p3     3   q    q2   p3
α =   - 2 +   4 + 27;β =   - 2 -  4  + 27

de onde se tira o valor de x:
           ∘ -----∘--------- ∘ -----∘---------
           3   q    q2   p3   3  q     q2  p3
x = α+ β =   - 2 +  4  + 27 +  - 2 -   4 + 27

Ou seja, a equação
x3 + px + q = 0

Tem como uma das suas soluções

(continua num próximo post)

Correcções:
03/07/2013 - Foi feita uma pequena alteração na última frase do texto, numa tentativa de corrigir uma gralha identificada e reportada pelo professor Filipe Oliveira a quem agradeço a atenção.

sexta-feira, 10 de maio de 2013

A Soma e o Produto das soluções de uma equação quadrática.


Para testar um script conversor de LaTeX para este blog, vou fazer uma observação sobre as soluções da equação quadrática, que embora banal, incrivelmente não é muito conhecida entre os alunos do nosso secundário. Peço desculpa aos leitores com conhecimentos mais avançados por esta banalidade.
Sabe-se que se
 ax2 + bx+ c = 0

então
    - b ± √b2 --4ac
x = -------------
         2a

Se S for a soma das duas raízes da equação temos
    - b+ √b2---4ac  - b- √b2-- 4ac    b
S = ------2a----- + ------2a----- = - a-

E se P for o produto temos
         √ -------       √ -------
     - b+--b2 --4ac --b----b2---4ac  b2 --(b2 --4ac) c-
P =       2a      ×       2a      =      4a2     =  a

Ou seja
      b-
S = - a

    c
P = a-

Em particular quando a=1 temos S=-b e P=c, e portanto a equação original pode escrever-se na forma

x2 - Sx + P = 0


Exemplo de aplicação :pretende-se encontrar rapidamente dois números reais tais que o produto seja 72 e a soma seja 18.
Resolução:
Se resolvermos a equação x2 - 18x + 72 = 0 as soluções serão números nas condições pedidas.
       ∘ -------
x = 9 ±  92 - 72 = 9 ±3

⇔  x = 6 ∨x = 12

E portanto os números são 6 e 12.
Uma outra aplicação, é a verificação das soluções de uma equação.

OBSERVAÇÃO: Se se está a interrogar como foi que eu apliquei a fórmula resolvente, eu utilizei uma fórmula resolvente simplificada
x2 + 2kx+ c = 0

           ∘ ------
⇔ x = - k ±  k2 - c

Se não a conhecia, pode tentar deduzi-la.

Se consultarem o artigo da wikipédia sobre a equação quadrática, de preferência a versão em inglês (nem vou comentar o que se passa com a versão em português na altura em que estou a publicar esta mensagem), encontram mais curiosidades sobre as soluções da equação quadrática.
Este blog recusa-se a utilizar o Acordo Ortográfico de 1990