Equações polinomiais do 3º grau. A Fórmula de Tartaglia Parte 2: Dois exemplos.

Considere-se a equação.

A fórmula de Tartaglia dá-nos:

Certo?

Bem... Se estivermos a pensar na raiz cúbica como função real de variável real, sim, está certo, visto que a raiz cúbica real está univocamente determinada, isto é cada número real tem uma e apenas uma raiz cúbica.
Mas se estivermos a pensar na raiz cúbica de variável complexa, o caso muda de figura.
A raíz cúbica, em ℂ não está univocamente determinada.

A fórmula de De Moivre dá-nos três valores distintos para :

E então a soma x = + pode designar a soma de quaisquer duas destas raízes. É fácil notar que nem 2z₁ nem 2z₃ nem z₁ + z₂ nem z₂ + z₃ são soluções da equação.
Então, como devemos proceder para determinar apenas soluções da equação?
Voltemos à dedução da fórmula (rever aqui).
Vímos que:

onde

e α é uma raíz cúbica de

Tendo determinado α, β é também unívocamente determinado pela fórmula

Assim, no nosso caso as soluções x_j serão:

Não pense que este será o único tipo de problemas a enfrentar quando usa a fórmula de Tartaglia.

Consideremos agora a equação

Cuja solução real, dada pela fórmula é:

Temos um problema "sério": É possível simplificar isto?
Uma forma de tentar fazê-lo é recordar que

e tentar manipular os dados por forma a obter um desenvolvimento destes. Neste caso...

E portanto

Tendo esta solução, recorrendo a métodos de deflação, facilmente se obtêm as outras duas soluções, que são -1 ± i.
Será fácil obtê-las também recorrendo directamente à fórmula de Tartaglia?
(Sim, é! Pode tentar fazê-lo...e depois consultar a minha resolução aqui).
Note-se que a manipulação que nos levou a simplificar o resultado nem sempre é fácil, nem temos garantia de que tal simplificação seja efectuável ou que o resultado da soma  seja inteiro ou racional...

(Continua num próximo post)