De uma equação diferencial até à relação de Euler.

A minha relação com os números complexos foi, inicialmente, muito auto-didacta.
Hoje vou mostrar-vos como percebi como se deveria definir a exponencial complexa, cerca de um ano antes de ter tido análise complexa.
O facto não foi muito surpreendente pois já tinha tropeçado com a fórmula antes em algumas leituras. Em particular, a fórmula

Apareceu-me algumas vezes, (ainda antes de ter visto a fórmula com funções trigonométricas) e confundia-me pelo facto de e^π nem ser inteiro...
Consideremos a equação diferencial

A solução desta equação diferencial eu já a conhecia de outras aventuras, e penso que qualquer um com os conhecimentos mínimos de cálculo diferencial/integral consegue deduzir a fórmula da solução sem grande esforço.
Eu vou apresentar aqui uma dedução, mas o leitor mais apressado pode saltá-la.

A função cis, complexa, de variável real, define-se da seguinte forma

onde i é a unidade imaginária.
Ao derivar esta função observa-se que:

Ou seja

Esta relação mostra que a função cis satisfaz a equação diferencial do início deste post, com k = i
Se admitirmos que aquela solução é válida para valores de k complexos, como cis0 = 1 então:

ou seja

Esta última relação é uma das relações responsáveis por se definir a exponencial complexa como se define habitualmente (a menos que se defina pela série de MacLaurin).
Em partitcular, esta relação dá-nos: