quinta-feira, 6 de junho de 2013

O número de Ouro
Parte 3: O pentagrama e o coseno de 36º

Na figura foi desenhada uma circunferência de centro O e raio R. Dividiu-se a circunfêrencia em cinco partes iguais e utilizaram-se pontos de divisão como vértices para o pentágono [ABCDE].
Traçaram-se as diagonais [AC], [BD], [CE], [DA], [EB], ficando desenhado um pentagrama.
Os pontos F,G,I,J,K são pontos de intersecções das diagonais, tal como sugere a figura.
Os arcos AB,BC,CD,DE e EA têm todos medida ou amplitude 3600
-5-- = 72o.
É então imediato que:

  • CBD = ∠COD
--2---- = 360
  • DBE = ∠DOE
--2---- = 360
  • ABE = ∠AOE--
  2 = 360
  • ABE = ∠AOE--
  2 = 360
  • ACB = ∠AOB--
  2 = 360
  • BAC = ∠BOC--
  2 = 360

E portanto

  • CBF = CBD + DBE = 360 + 360 = 720
  • CFB = 1800 - (ACB + CBF) = 720

Assim sendo [BCF] e [GBF] são semelhantes, pois têm dois ângulos internos com a mesma amplitude:

∠BCF   = ∠F BG

e

∠CBF   = ∠BF G

Tendo dois ângulos iguais, em geometria euclidiana tem automaticamente os 3 ângulos internos iguais, portanto os triângulos são semelhantes. Mais ainda, como cada um deles tem dois ângulos internos de 720, os triângulos são ambos isósceles.
Para simplificar a notação, faça-se CG = a e GF = b.

A razão de semelhança entre estes dois triângulos é:

    ---   ----
    CF    BF
r = BG--= GF--

Ou, na outra notação,

r = a-+-b= a
     a     b

Mas se atendermos à forma como foi definido o número de ouro no primeiro post, verificamos que esta razão é o número de ouro!

r = ϕ

Uma consequência imediata é que a = .
Ao aplicarmos a identidade conhecida como analogia dos senos ao [GBF] temos então:

sin720-= sin-360
  a       b

Como sin(2α) = 2sinα cosα então

2sin360cos360   sin360
------------- = ------
     bϕ           b

E então

2-cos360
   ϕ    = 1

De onde sai

cos360 = ϕ
        2

Sabendo este valor rapidamente se deduzem os valores das razões trigonométricas de 18o,36o,54o,72o, se quisermos, em função de ϕ.
Assim sendo, não é de estranhar que ϕ surja associado a várias igualdades relacionadas com o pentágono ou o pentagrama.

Outra forma de obter as razões trigonométricas de 36º é obter a fórmula para sin (5α) em função de sin α e depois, igualá-la a zero e resolver a equação de 5º grau...
Este blog recusa-se a utilizar o Acordo Ortográfico de 1990