Este blog vai estar de férias até à próxima Segunda-feira [inclusive].
Para quem gosta dos meu posts matemáticos, regressarei com geometria analítica no espaço.
Até Terça [2ª é dia da região autónoma da Madeira]

Exames 1ª fase, 2013

Cá está um link para os exames de Matemática de hoje:

1ª Fase 2013

• Matemática A V1 e V2
• Matemática B

Se têm mesmo de ver critérios de correcção:

Matemática A: critérios, critérios adaptados
Matemática B: critérios

Mas antes de olhar para ela... se não resolveu o exame, tente resolver primeiro.

Proposta da SPM de resolução do exame de Matemática A

Exames? Não vou comentar...

Amanhã, 25 de Junho de 2013 é dia de exame nacional de Matemática A para os alunos do secundário.
Boa sorte a todos os que o vão fazer.

Já vi o exame de MACS (Matemática Aplicada às Ciências Sociais).
Tenho uma opinião sobre eles, mas vou mantê-la para mim. Não fui eu que fiz os enunciados, não estou sujeito a avaliação em nenhum deles, nem estou vinculado de forma nenhuma ao sistema de ensino, por isso que interesse tem a minha opinião?

Há dias dei a minha opinião sobre a proposta de programa de Matemática do ensino básico, e mantenho-a.
A minha opinião é sobre o programa e não sobre a forma como o processo se desenrolou. Sobre isso não tenho opinião formada.

Tenho muitas reservas sobre muita coisa que tenho visto no ensino. A ideia de democratizar tudo é péssima porque a maioria nem sempre sabe o que é melhor.
Aliás, em Portugal, pode-se dizer que a democracia é um concurso de popularidade e não de competência e honestidade.

A questão do Acordo Ortográfico, neste aspecto confunde-me porque não acredito que haja qualquer maioria a seu favor... foi simplesmente imposto nos meios de comunicação social e nas escolas, imposto de uma forma pouco racional, sem sequer haver consulta pública.
E mais grave ainda, um acordo que tem muito que se diga, e que até deveria ter outro nome: Imposição Ortográfica, porque "Acordo" parece-me uma designação muito abusiva.


Eu não sou "comunicação social". Tenho direito á minha opinião, e dada a natureza deste blog, tenho todo o direito a dá-la desde que não viole as regras que fui obrigado "a assinar" quando me cederam este espaço online...

Podia dar a minha opinião sobre os exames, mas opto por não a dar.
São exames! A única coisa que realmente interessa a quem os fez são as notas e as correcções.

A mim, pessoalmente interessa-me saber se estão mesmo a avaliar conhecimentos ou a fazer trabalho para as estatísticas.

Portanto, não vou comentar exames, a menos que se lembrem de fazer algo mesmo bárbaro.

Valor aproximado VS valor exacto.

(Texto revisto e ampliado)
O "problema do espelho" que propus há pouco mais de um mês é equivalente ao problema de ter duas bolas de bilhar sobre uma mesa  e saber para que ponto da mesa se deve dirigir uma das bolas  para "fazer tabela" e chocar na outra.

Ora, este problema "é resolvido" diariamente em milhões de mesas de bilhar em todo o planeta.
A solução obtida geralmente não é a solução exacta, mas sim uma solução aproximada.

Determinar matematicamente a solução exacta pode ser um problema um pouco mais trabalhoso, e no caso das mesas de bilhar, absurdo.

Voltando ao "problema do espelho",
Se espreitarem as soluções até podem ver que uma delas foi obtida intersectando uma hipérbole com o espelho..
-- Ninguém no seu perfeito juízo pensa em hipérboles quando joga bilhar!

No entanto, a obtenção de soluções exactas, é, sempre que possível, uma das delícias da Matemática e podem até ser muito úteis em vários problemas, na medida em que quando estamos em cálculos intermédios, os valores exactos não permitem que se acumulem erros de aproximação.

Ninguém nega que ter uma solução exacta para um problema exacto é sempre o ideal.
Mas será mesmo sempre necessário ou possível ter uma solução exacta para um problema aproximado?

O mais estranho ainda é que até existem problemas "aproximados" que têm soluções exactas... quando o problema exacto não tem qualquer solução.

Regressemos aos problemas exactos com soluções aproximadas.
A equação x=cos x tem uma e uma só solução exacta. É possível demonstrá-lo por exemplo recorrendo ao teorema de Bolzano e ao teorema do valor médio de Lagrange, ou ao Princípio de Contracção, também conhecido como teorema do ponto fixo de Banach.
Qual é o valor exacto?
Bem, é o número real φ tal que cos φ=φ
Só que dizer isto não nos diz absolutamente nada... Se vos disser que

(naturalmente, em radianos...)
Então se calhar estarei a dar-vos uma informação sobre φ que vos permite situar o número e até utilizá-lo com uma margem de erro que provavelmente será inferior a qualquer uma que venha a precisar,

O mesmo se passa com o  nosso velho amigo  π.
 π. é o quociente entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência, e aparece em imensos sítios da Matemática, mas... tal como φ tem o inconveniente de ter um valor exacto com infinitas casas decimais, sem qualquer padrão.
Será preferível também dar um valor aproximado:

`
Uma forma de minimizar erros quando trabalhamos com estes números é utilizar um símbolo que o represente sem ambiguidade até ao fim dos cálculos.
Na prática é isto que é habitual fazer em Matemática quando temos o luxo de só ter números exactos.

Escrever simplesmente π evita ter de escrever N decimais e andar com os erros de aproximação associados atrás...

Quem diz π, diz por exemplo o número de ouro, raizes quadradas, cúbicas, indice N, logaritmos, integrais..
Mas não nos fiquemos pelos números.
Séries de pontencias ou séries de Fourier truncadas também são o equivalente a expansões decimais com muitos algarismos, só que no âmbito de  funções, que podem ser soluções de equações diferenciais e não terem uma forma mais simples ou compacta de ser escritas..

O problema de se ter uma solução exacta "fechada" nem sempre tem solução, e nesse caso, as soluções aproximadas são o melhor que temos.
Mas mesmo quando temos uma solução "fechada", nem sempre é prático trabalhar com ela e por isso também se recorrem a aproximações.
Por vezes conseguem-se sucessões teóricas de aproximações que nos permitem determinar rigorosamente soluções exactas.

Na vida real, cada problema é um problema e a melhor "solução" (exacta ou aproximada) depende muito do problema, daquilo que dispomos para o resolver, e do tempo que temos disponível... E um erro de cálculos ou utilizar a precisão errada podem ter consequências catastróficas.

Pioneer.

Já aqui falei do Oolite, um jogo onde podemos passear e fazer comércio, pirataria e serviços pelo espaço.
Mas o Oolite tem um pequeno problema. Não respeita a Física (Newtoniana), tal como o jogo Elite em que é baseado.
Para um jogo mais realista, onde forças e velocidades respeitam as leis de Newton eu vou sugeri desta vez outro jogo OpenSource, remake/upgrade de outro grande jogo dos anos 90 que dava pelo nome de Frontier (ou Frontier:Elite 2)
Contrariamente ao Oolite, este ainda está atrasado na sua produção mas já é um simulador muito bom.
Também contrariamente ao Oolite, respeita (pelo menos um pouco mais) as leis de Newton, e ao sairt do hiper espaço, em vez de uma estrela, uma base e um planeta, temos um sistema estelar (ou um sistema solar, se preferir) e mais do que um planeta pode ter bases no próprio planeta ou em estações espaciais ou mesmo em satélites naturais.

O sistema solar é um dos sistemas!

Podem ver um vídeo aqui: (partilhei-o há alguns dias no Facebook, portanto não é novidade para quem me segue por lá)

Site oficial:  http://pioneerspacesim.net/

Aqui não existem drives galácticas... Nem trumbles
Não se iludam! Este jogo ainda não está pronto e já é fantástico...

Se alguma vez tentarem vos vender trumbles no Oolite, sejam amigos dos animais e digam que sim. Mas antes certifiquem-se que têm um fuel scoop e protecção exterior para evitar o aumento de temperatura...e mais não digo para não tirar a piada ao Oolite.

Até à próxima!.

Soluções para o exercício de 08/05/2013

O exercício era este:
http://cpaulof2.blogspot.pt/2013/05/um-exercicio-de-geometria-analitica.html

Soluções
a: (0,0)
b:(1,0)
c:(0,-1)   (só por curiosidade, esta solução foi obtida com o Wolfram Alpha desta forma, mas podia ter sido determinada "manualmente".. o Wolfram Alpha aqui serve para dar uma ideia do processo envolvido)..


A questão d) fica para uma exposição futura aqui no blog ou num pdf , pois pode influenciar os leitores que queiram tentar resolver o problema.

Estar parado é morrer

Venho deste modo "agradecer" a todos os irresponsáveis que com as suas atitudes, decisões e mesquinhices me empurraram para a situação em que me encontro hoje (desempregado, sem dinheiro, sem subsídios e com 2 mestrados abandonados... em termos práticos agora sou um parasita).

Mudando de assunto: há um vídeo que anda a circular pelas redes sociais e emails há vários meses.
Não sou cidadão brasileiro, mas acho que é meu dever partilhar o vídeo para todos os leitores do Brasil que passam diariamente por este blog.

Então, como é que é? Vão ficar parados?
Tomem lá um link directo para o site do vídeo: http://www.movimentogotadagua.com.br/
Informem-se sobre o que realmente se passa, divulguem e corrijam alguma informação mais incorrecta, e tomem uma posição.

O país é vosso, mas o planeta é de todos.
Espero que começando o povo a tomar posição por aí, comecem a haver posições internacionais, tanto para proteger a Amazónia como para arranjar alternativas energéticas.

---

E um abraço para os leitores do Brasil.

Um exercício para finalistas do ensino secundário

Existem imensos grupos de Matemática no facebook.
É engraçado ver como o conceito de Matemática muda conforme as diferentes culturas, e como são diferentes os programas dos equivalentes ao ensino secundário.

Parece-me insano utilizar estatísticas e comparações com outros países para justificar algumas alterações aberrantes que se têm feito ao longo dos anos.

Há países onde os alunos se tornam perítos em cálculos mas ficam com um grande défice nos conceitos, e não é raro encontrar adultos de várias partes do globo, que, por exemplo discordam que 0,(9)=1, mesmo depois de ver várias demonstrações.

A Matemática é ditadora.. não está aberta a discussão.Se querem resultados diferentes têm de se mudar conceitos e axiomas. Caso contrário não há lugar para ambiguidades nem discussões estúpidas.

Partilho um exercício simples de cálculo que encontrei hoje, e deixo a sua resolução para os alunos que terminam agora o seu ensino secundário.

Não é difícil, e pelo menos o primeiro toda a gente tem obrigação de saber calcular.
 Embora a moda de que os matemáticos não têm de saber fazer contas esteja bem implementada (concordo apenas parcialmente com aspectos dessa moda... mas isso fica para discutir outro dia), eu acho essencial que toda a gente saiba  fazer contas e manipulações.
Aliás, é só por isso que muitas vezes me dou ao trabalho de apresentar vários passos nos cálculos que vou apresentando neste blog.

Crónicas de um comandante no Oolite.(I)

Tenho passado umas valentes horas a jogar Oolite.
Já tenho computadores de atracagem, que me facilitam imenso a tarefa de entrar numa base.. (basta pressionar shift-C).
A nave tem pouca carga, o que limita um pouco o meu lucro. Tenho lucrado imenso a comprar computadores em mundos industrializados e a vendê-los em mundos tecnologicamente pouco desenvolvidos.
Ontem comprei uma drive galactica, que grosso modo me permite transportar a nave de uma galáxia para outra com um hipersalto especial.
Só que comprei a drive e utilizei-a "sem ler as instrucções", o que é sempre má ideia.
Acabei noutra galáxia, no sistema menos desenvolvido que já vi e com imenso equipamento avariado pois fui atacado por imensos piratas, e sem drive galactica! Sim, é uma drive caríssima com o péssimo inconveniente de só poder ser usada uma vez!.
Podia ter simplesmente carregado a partir do ponto onde gravei antes...
Mas onde está a piada disso?
Pouco a pouco a venda de computadores deu-me lucro e já tenho a nave outra vez em condições.
Não compro outra drive galáctica até ter uma maior liberdade financeira.
É altura de explorar esta nova galáxia...

PS: Sendo isto OpenSource, alguém está interessado em traduzir para português? Não importa se é do Brasil ou de Portugal, desde que não use o acordo ortográfico, por mim é bom! 

Oolite

Continuando no mundo dos jogos Opensource, disponíveis para Windows, MacOS e Linux, hoje vou falar-vos de Oolite.
Oolite é também um upgrade/remake opensource de um jogo antigo, chamado Elite.

No princípio do jogo é dada uma nave espacial com o depósito cheio e são depositados 100 créditos na sua conta. A partir desse momento ele é livre para fazer o que quiser!

Ambicioso não?
O ideal é começar por ir ao mercado comprar alguns items, depois sair com a nave da base onde estamos estacionados e dar um hiper-salto para um sistema solar vizinho, entrar noutra estação e vender os produtos por forma a ter algum lucro, voltar a atestar o depósito, comprar outros produtos, sair com a nave e voltar a saltar...

Se fosse só isto ainda que interessante acabava por ficar monótono...
Com o dinheiro podemos fazer upgrades às naves.
Por exemplo, no princípio todas as manobras de estacionamento são manuais, a nave não as faz automaticamente até que compre o upgrade para isso. Depois, existem os piratas que o vão atacar de vez em quando em busca de recursos.
A propósito, a vida de caçador de prémios é bem paga.
Fora isso ainda pode  aceitar pedidos de transporte de carga ou de passageiros, ou mesmo aceitar contratos para abater naves criminosas, ou de pessoas menos desejadas por alguém disposto a pagar.

O Elite original teve direito a uma sequela excelente chamada Frontier: Elite II, mas Oolite é mais fiel ao original.

Oolite não é um mero remake/upgrade... permite que qualquer pessoa crie plugins, modificações e extras para o jogo. Assim estão disponíveis como plugins  desde todo o tipo de melhoramentos feito por pessoas externas ao projecto, a naves do Star Wars e do Star Trek, a modificações dos ambientes, de missões e etc.

Recomendo a todos os estão dispostos a jogar um jogo onde se tem tamanha liberdade,  e a todos os fãs de Elite e Frontier.
No entanto, sugiro que aprendam primeiro a aterrar as naves nas bases até terem os computadores que o façam automaticamente.ou não vão achar piada a nenhuma a ver a nave despenhar-se ao lado "da porta" de uma estação espacial..

Bem, eu vou-me.. tenho a minha nave cheia de narcóticos para vender à espera numa base com a forma de um icosaedro  :)

A propósito.. o jogo está disponível no site oficial: http://www.oolite.org/

Bom fim de semana e bom jogo.
PS: Para as batalhas no espaço sugiro que arranjem um comando/Joystick

Open Transport Tycoon Deluxe

Em tempo de crise, e convenhamos, sempre,  tudo o que for alternativa gratuita é bem vinda.
O openttyd é um jogo que começou por ser uma reescrita/upgrade opensource de um jogo de sucesso dos anos 90, o Transport Tycoon Deluxe, e que evoluiu até se tornar num jogo totalmente opensource, podendo ainda utilizar alguns ficheiros do jogo original, se o utilizador assim o desejar.

De que trata o jogo?
É uma simulação de empresas de transportes.
A cada jogador é entregue uma empresa, ou, em modo online, vários jogadores podem estar na mesma empresa e fazer estações de comboios, autocarros, portos para barcos, aeroportos, construir aviões, barcos, autocarros, camiões de carga/descarga de todo o tipo de coisas, comboios com todo o tipo de carruagens. Há ainda uma componente politica: os jogadores podem candidatar-se a subsídios pelos transportes, comprar exclusividade de direitos de transportes...e não convém estarem mal relacionados com as autoridades de cada cidade sob pena de verem futuras construcções recusadas.
Manter as boas relações com as autoridades nem sempre é tarefa fácil.. basta abater um certo numero de árvores na vizinhança para a nossa companhia ficar muito mal vista, e para recuperar a imagem vale de tudo.. até suborno, desde que o jogador não seja apanhado.

Sendo um upgrade a um jogo dos anos 90 do século passado pode não ter o brilho, nem os gráficos dos jogos recentes, mas é um jogo muito bom e garante várias horas de bom entretenimento.
Pode ser jogado em modo 1 jogador, ou, via lan ou internet por vários jogadores em competição ou  em colaboração.

O jogo está disponível para linux, MacOS,Windows. em vários idiomas, entre os quais o português e pode ser descarregado gratuitamente a partir de :http://www.openttd.org/en/
Existe um manual online em português em :http://wiki.openttd.org/OpenTTD/Pt

Até amanhã.

Um país irresponsável, um acordo dispensável e uma opinião muito pessoal

Como disse há dias, uma das poucas medidas tomadas por este governo em educação e com que concordo é com a revisão dos programas de Matemática do ensino básico.

Mas de resto, no que diz respeito a ensino básico e secundário...
De resto a história é outra.
O braço de ferro entre governo e sindicatos dos professores tem as vítimas habituais: os alunos.
É indecente. Com o futuro das pessoas não se brinca.
(E, na minha vida... já o fizeram muitas vezes acabando eu na ridícula situação em que estou, a dar explicações num sítio com muito poucos alunos...e a receber muito abaixo do salário mínimo,... motivação: procura-se)
As atitudes deste governo têm sido dignas de um governo de ditadura, e curiosamente, vejo muita gente a tomar posição contra os professores.

Eu acho indecente o que está a ser feito na educação, e ainda mais indecente ver quem, para não variar, não sabe o que diz, a se opor às opiniões de quem lida diariamente com os problemas que estas medidas trazem.
Na prática, o governo quer reduzir custos de qualquer forma para pagar aquilo que provavelmente é a dívida mais mal explicada da história da humanidade, onde certamente há muita corrupção (e até se sabe de muitos desvios), e muita pressão externa de um trio que inclui uma organização que vergonhosamente no ano passado foi galardoada com o prémio Nobel da Paz.

Portugal está prestes a explodir. A quantidade de revoltados aumenta diariamente.
A acusação de que "Portugal vive acima das suas possibilidades" não deve ser feita  aos portugueses mas sim a quem criou esta dívida como se não tivesse de a pagar.
Ninguém vai preso. Os responsáveis andam por aí impunes e vivem à grande e à francesa.
Desesperado por arranjar dinheiro, o governo toma medidas impensáveis e muitas vezes ridiculamente estúpidas, mas que demonstram o desespero que quem ou não sabe o que fazer...
Pessoalmente, eu acho melhor ser criada uma equipa que investigue para onde foi o dinheiro.. e que o vá lá buscar, ou as coisas mais cedo ou mais tarde vão ficar feias em Portugal.

Posso falar do Acordo ortográfico?

Além de tudo ainda oponho-me à imposição do Acordo Ortográfico em todos os países de expressão Portuguesa.
Mas acho que deve ser cada povo a tratar da sua casa, cada um sabe o que é bom para si.

Aliás... ás vezes pergunto-me:"Sendo por exemplo, Brasil tão grande, como é que a população consegue aceitar este acordo?"
Parece-me é que as pessoas confiam naqueles que os assinaram e nem pararam para olhar para ele...
Não quero interferir, quero compreender.
Por cá, primeiro olhámos para o acordo. As intenções eram boas, mas o acordo não cumpre os seus objectivos e cria mais problemas e diferenças entre os restantes países de expressão portuguesa e o Brasil. Parece-me um bom motivo para não confiar em quem prestou tão mau serviço á comunidade de língua portuguesa.
E mesmo se esquecermos as diferenças ortográficas entre os dois países que ficam mais acentuadas, há imensas outras coisas que não fazem sentido.
(por exemplo a queda do c de "facto" tornou-o em "fato" que em Portugal e penso que também nos PALOP designa bem... um traje, e o mais ridículo é que pessoas que sempre pronunciaram o c, deixaram de o pronunciar graças ao acordo... por cá a ortografia estupidamente começa a afectar a oralidade)
Eu vou continuar a falar apenas das diferenças entre Portugal e Brasil, mas não tenho nada contra os PALOP, Timor e Macau. Embora na teoria saiba o que se passa, prefiro que sejam essas regiões a falar das suas diferenças que não devem ser muito diferentes das que cito, mas devem incluir características próprias.
Não conheço suficientemente os PALOP nem Timor  para falar por eles.

No Brasil e em Portugal usam-se palavras diferentes para as mesmas coisas.
Nenhum Acordo Ortográfico resolve isso, (e este então... nem se fala).
Algum português pai passar a dizer "trem" em vez de "comboio" só por este Acordo Ortográfico?
É este acordo que vai fazer "usuário" passar a ser "utilizador"? "Arquivo" passar a ser "ficheiro"?
"Sistema Operacional" passar a ser "Sistema Operativo"'? "A integral de Riemann" passar a ser "O integral de Riemann"?
A resposta é clara: Não! Os brasileiros tomaram conta da wikipedia de lingua portuguesa e estão dessa forma a impor a sua forma de escrever e de certa forma até a sua cultura ao resto dos países de lingua portuguesa. Isto não é bom! Se todos fossemos brasileiros, tudo bem.. mas não somos! Seria bom criar-se uma Wikipedia em Português do Brasil (ou, porque não, brasileiro?)
Eles usam "Fórmula de Bhaskara" para a fórmula resolvente (das equações polinomiais de 2º grau") Seremos todos obrigados a usar uma designação que só eles usam? Sabem quantos matemáticos na história da humanidade, para alem desse senhor, antes e depois desse senhor,  trabalharam com equações do segundo grau? "Fórmula resolvente" parece-me mais adequado. Mas atenção: No Brasil têm todo o direito e legitimidade para usar a designação que bem lhes apetecer. Só que sendo a Wikipedia um local público este tipo de "imposição" fica mal...
Voltando ao AO, passa-se a mesma coisa, país nenhum tem moralidade de impor nada a nível de ortografia aos outros. O ideal seria um acordo entre todos os países que falam Português e que viesse a progressivamente reduzir uma degradação da língua, e "acordos" unilaterais por parte de um país ou outro que queira continuar a chamar Português à sua língua.

Embora estas razões possam ter estado na origem do AO90 este acordo não nos resolve problema nenhum! Este acordo não resolve diferenças nenhumas, nem mesmo a grafia fica unida.
"Confecção" que sempre foi "confecção" em ambos os países passa a ser "confeção" em Portugal e mantém-se "confecção" no Brasil.
Este acordo não tem algumas falhas, todo ele é falha de princípio ao fim.
Fico com a sensação de que feito e assinado por pessoas que procuram o prestígio a qualquer custo!
Querem um acordo, façam um melhor trabalho!
Citei apenas alguns exemplos mas diariamente vêm-se dezenas nos jornais, televisões e internet...

Mas, cada país sabe de si, e eu não tenho moral nem carisma para dizer seja lá o que for a países estrangeiros... apenas quero ser entendido se afinal de contas falamos todos a mesma língua...
Esta é somente a minha opinião de cidadão desempregado português que não vive às custas do estado...
Ou seja, estatisticamente falando,  não sou ninguém e a minha opinião de nada vale.

Portugal foi um país pessimamente gerido no pós 25 de Abril de 1974, tal como tem sido muitas vezes ao longo da história. Os erros do passado repetem-se e ninguém aprende com eles.
Tomam-se medidas mal pensadas e mal estudas por uma minoria que apenas pretende "se mostrar" e ter prestígio e não para para pensar seriamente no assunto ( e se o faz... é preferível demitir-se porque está a mostrar-se incapaz).

Lamento viver num país que tem sido governado por uma classe de irresponsáveis com uma miopia tão grande, e olhem que eu sou míope no sentido literal da palavra.

Até à próxima

PS: Em breve vou rever o texto para corrigir falhas gramaticais e ortográficas..

Desenhar Fractais de Newton

Antes de começar quero fazer o leitor notar que o C de fractal não é nem nunca foi mudo, nem antes nem depois do maldito "acordo ortográfico", portanto, pronuncie o c!
A palavra fractal surgiu nos anos 70 do século XX, e deve-se a Benoit Madelbrot.
Na literatura portuguesa penso que surgiu pela primeira vez nas traduções da equipa do professor Carlos Fiolhais da Universidade de Coimbra (corrijam-me se estiver enganado)

As expressões que vou deixar entre aspas, têm um uma razão para isso: são expressões que têm alguma imprecisão do pornto de vista rigoroso, mas que tornam a explicação mais acessível ao leitor.

O que é um "fractal de Newton"?
Como o leitor sabe, os pontos  (a,b) do plano podem ser identificados com os números complexos z=a+bi.

Seja f uma função contínua e diferenciável, complexa de variável complexa (portanto, holomorfa).
Suponhamos que "para cada número complexo z₀ " se constrói  a sucessão z_n+1=z_n - f(z_n)/f'(z_n)
Estão esta sucessão ou diverge, ou converge para um dos zeros de f.
(é fácil pereber porquê: é a sucessão associada ao método das tangentes / método de Newton-Raphson/método de Newton)

De acordo com a "velocidade" da convergência e com o ponto para a qual a sucessão converge, pode-se dar uma cor ao ponto do plano correspondente a z₀.
Á imagem obtida no final é habitual chamar "fractal de Newton"

 O leitor mais interessado pode ler as legendas dos fractais de Newton que tenho ou no meu facebook ou, preferencialmente, no meu deviantArt

A primeira vez que pensei em desenhar uma destas figuras, não conhecia o conceito da literatura, e, tinha acabado recentemente a licenciatura (ou seja, também estava desempregado).
 Por outras palavras, também cheguei a eles por mim próprio, e com uma abordagem um pouco simplista:
Sabendo que a sucessão podia não convergir eu queria saber quais os pontos para os quais a sucessão convergia e quais os que levavam a sucessão a divergir
(basta aquela derivada no denominador da fracção se anular...)
Não tendo conseguido resolver o problema analiticamente de forma que considerasse satisfatória,
Sentei-me à frente do computador e escrevi, na altura, em TurboPascal, um programa que pintava apenas os potenciais pontos que davam origem a divergência, depois, noutra versão convergência.
Depois numa 3ª ocorreu-me a pintar os pontos em função do numero de passos que levava a convergir, com uma certa margem de erro, e finalmente numa 4ª a pintar em função do número de passos e do zero para o qual a sucessão se aproximava..

Após ter visto as primeiras imagens geradas, percebi que já tinha me cruzado com algumas delas como "arte" para capítulos de alguns livros...  nomeadamente, capítulos com números complexos.

Deixei aqui a ideia intuitiva do método. Para uma ideia mais analítica e rigorosa destas figuras vou sugerir a leitura do artigo da wikipedia sobre fractais de Newton, e prometo fazer uma exposição mais "pesada", um dia, no futuro, num dos meus blogs...

---

• Wikipedia: Benoit Madelbrot
• Uma conversa com Mandelbrot  ( Nuno Crato- Expresso:2010 )
• Wikipedia: Newton Fractal

Vem aí a nova geração de consolas...

Já estão anunciadas as novas consolas Playstation 4 e Xbox One .
Como desempregado de longa duração eu nem tive uma direito a uma consola da geração anterior.
Mas diga-se de passagem que não me fez muita falta.
Quando se compra uma consola há a ter em conta que a despesa não se fica pela consola.
Há o preço de cada jogo, de cada extra e agora também dos serviços ou de acesso a redes próprias via internet.
E fora isso tudo, ainda convém pensar no tempo que se vai gastar à frente da consola.
Se a ideia é comprar uma consola para as crianças em casa, pense bem no que vai fazer... e tenha cuidado com os jogos: Os jogos têm faixas etárias e classificações por bons motivos!
Não venha depois com a desculpa estúpida de que o seu filho deu um tiro num polícia com uma arma impressa numa impressora 3D na escola ou na empresa do trabalho dos papás porque jogou o último  GTA.
 [A propósito, quero mandar um cumprimento muito especial á Rockstar pelo excelente trabalho nos jogos GTA]

Desculpem lá.. Sony e Microsoft. Se querem que eu compre uma consola, jogos, etc então dêm-me um emprego bem pago e tempo para poder beneficiar da consola.

Sou licenciado em Matemática Pré-Bolonha e frequentei dois mestrados. E é um facto que  já fui aprovado a mais cadeiras/disciplinas do que pessoas com licenciaturas à bolonhesa e dois mestrados de Bolonha!
(e mesmo de disciplinas que actualmente fazem parte de mestrados e pós-graduações)
Não, não vou fazer uma análise às consolas.. só vou dizer que gostava de ter acesso ao poder de computação de qualquer uma delas...

cálculos 10/06/2013

Estas equações e cálculos vêm na sequência do meu post de ontem.
Escrevi-os directamente no computador sem ter rabiscado nada em papel.
Sem mais explicações, algum leitor interessado sabe explicá-los?

Até que ponto utilizar a última fórmula é boa (ou má) ideia?
[A esta 2ª questão ainda não tenho resposta pois só deduzi a fórmula e não pensei nela ainda...]

Fractais em resolução Quad Hd

Hoje, Domingo, passei pelo meu devianArt e cheguei à conclusão que devia tentar aumentar as resoluções de alguns fractais.
No que diz respeito aos fractais de Newton fui ao meu código C++ do fractal em tons de cinzentos da equação Z³-1=0  - é uma das imagens que acompanha o título deste blog.
Simplesmente aumentei a resolução para Quad HD (3840×2160).

Para meu choque, a imagem ficou pronta em muito poucos segundos... Decidi então aumentar as resoluções de todos os outros que lá estão e criar uns novos, recorrendo a equações polinomiais em que eu é que vou escolher os locais dos zeros...

 Em breve dou mais notícias.

Arquivo da internet

Ontem fui parar ao site http://wayback.archive.org/.
Pelo que percebi, é um site que de certa forma arquiva a internet!
 Encontrei por lá algumas cópias (que podiam estar melhores, convenhamos) das minhas antigas páginas:
No entanto, tendo em conta a forma como eu tinha os sites programados, ainda não encontrei uma cópia 100% fiel nem funcional.

Por exemplo:
 A primeira versão do meu site pessoal na UMa (vê-se melhor em versões antigas do Internet Explorer)

Existem cerca de 28 cópias distintas do meu site pessoal, mas infelizmente nenhuma está... decente!
Desde links que não funcionam a misturas de versões do site na mesma "foto"..
Seja como for, gostei do conceito.

Estive a ver outras páginas, como a primeira versão da wikipedia, de http://www.rtp.pt  e até do google!

Achei piada a ver a notícia nesse antigo site da RTP: "No «Dragão», só o Benfica ganhou!"... é mesmo passado.

Por hoje é tudo.

Bom fim de semana prolongado.

O número de OuroParte 3: O pentagrama e o coseno de 36º

Na figura foi desenhada uma circunferência de centro O e raio R. Dividiu-se a circunfêrencia em cinco partes iguais e utilizaram-se pontos de divisão como vértices para o pentágono [ABCDE].
Traçaram-se as diagonais [AC], [BD], [CE], [DA], [EB], ficando desenhado um pentagrama.
Os pontos F,G,I,J,K são pontos de intersecções das diagonais, tal como sugere a figura.
Os arcos AB,BC,CD,DE e EA têm todos medida ou amplitude = 72^o.
É então imediato que:

• ∠CBD = = 36⁰
• ∠DBE = = 36⁰
• ∠ABE = = 36⁰
• ∠ABE = = 36⁰
• ∠ACB = = 36⁰
• ∠BAC = = 36⁰

E portanto

• ∠CBF = ∠CBD + ∠DBE = 36⁰ + 36⁰ = 72⁰
• ∠CFB = 180⁰ - (∠ACB + ∠CBF) = 72⁰

Assim sendo △[BCF] e △[GBF] são semelhantes, pois têm dois ângulos internos com a mesma amplitude:

e

Tendo dois ângulos iguais, em geometria euclidiana tem automaticamente os 3 ângulos internos iguais, portanto os triângulos são semelhantes. Mais ainda, como cada um deles tem dois ângulos internos de 72⁰, os triângulos são ambos isósceles.
Para simplificar a notação, faça-se CG = a e GF = b.

A razão de semelhança entre estes dois triângulos é:

Ou, na outra notação,

Mas se atendermos à forma como foi definido o número de ouro no primeiro post, verificamos que esta razão é o número de ouro!

Uma consequência imediata é que a = bϕ.
Ao aplicarmos a identidade conhecida como analogia dos senos ao △[GBF] temos então:

Como sin(2α) = 2sinα cosα então

E então

De onde sai

Sabendo este valor rapidamente se deduzem os valores das razões trigonométricas de 18^o,36^o,54^o,72^o, se quisermos, em função de ϕ.
Assim sendo, não é de estranhar que ϕ surja associado a várias igualdades relacionadas com o pentágono ou o pentagrama.

Outra forma de obter as razões trigonométricas de 36º é obter a fórmula para sin (5α) em função de sin α e depois, igualá-la a zero e resolver a equação de 5º grau...

O número de ouro parte 2: relação com a sucessão de Fibonacci

A sucessão de Fibonacci é a sucessão de números naturais:

onde cada termo é a soma dos dois termos imediatamente anteriores.
Há quem comece a sucessão em zero, o que convenhamos, mais à frente poderia simplificar-me as contas.
Formalmente pode-se escrever:

Portanto, F₃ = F₂ + F₁ = 1 + 1 = 2;F₄ = F₃ + F₂ = 2 + 1 = 3... etecetera.
Mas podemos olhar para

como uma equação, uma equação de diferenças.
Vimos no post anterior que por exemplo u_n = ϕⁿ é uma solução desta equação, mas infelizmente as imagens de 1 e de 2 não são 1...
Sem querer dar um curso intensivo de equações de diferenças, vou mostrar como podemos resolver esta equação e deixar umas notas entre parêntesis para os leitores com conhecimentos por exemplo,... de Álgebra Linear.
Vamos começar por procurar soluções da forma

Com r≠0
Porquê desta forma?
Porque já sabemos que existe uma solução desta forma para esta equação de diferenças.
Substituindo na equação temos:

Dividindo ambos os membros da equação por r^n-1 obtemos:

ou equivalentemente

Equação a que é comum chamar equação característica da equação de diferenças. Como vimos no final do post anterior, as soluções desta equação são:

Ou, se preferir,

Na prática isto significa que as sucessões de termos gerais

São soluções da equação de diferenças.
Se pegar em duas constantes arbitrárias C₁ e C₂ e construir a sucessão

verifica que a sucessão de termo geral f_n é solução da equação.
Na verdade, a expressão

é uma expressão geral para todas as soluções da equação de diferenças F_n+1 = F_n + F_n-1
(É relativamente simples demonstrar que o espaço das soluções desta equação de diferenças é um subespaço vectorial do espaço das sucessões reais, que tem dimensão 2, e que as sucessões u_n = ϕⁿ e v_n = (1 - ϕ)ⁿ são linearmente independentes. e portanto que a expressão obtida para f_n é uma expressão geral para todas as soluções da equação)

Só precisamos de saber quais os valores de C₁ e de C₂ que tornam f_nna sucessão de Fibonacci.
Para f_n ser a sucessão de Fibonacci tem de verificar f₁ = 1 e f₂ = 1 ou seja

As propriedades do número de ouro permitem reescrever isto na forma:

Resolvendo o sistema temos:

E portanto a expressão geral da sucessão de Fibonacci é:

Ou, se preferirmos a notação inicial

Só a título de curiosidade, note que 2ϕ - 1 = .
A expressão geral pode ser útil por exemplo para calcular o limite:

Ou seja, a sucessão das razões entre um termo e o termo imediatamente anterior da sucessão de Fibonacci tende para o número de ouro!

continua