Matemática no "Rock Paper Scissors Lizard Spock" - Parte 3

No post anterior foi demonstrado que para termos um jogo "de armas" equilibrado, o número de armas tinha de ser impar.
 Mas será essa condição suficiente?
 Isto é, será que basta o número de armas N ser ímpar que já podemos garantir que é possível estabelecer relações por forma a que cada arma derrota exactamente o mesmo número de armas que a derrotam? 
Sendo N impar, N-1 é par. Ordenemos e numeremos as armas começando em 0 e acabando en N-1. Vamos estabelecer as seguintes relações: A arma na posição x:

• vence a que está na posição (x+1) mod N
• vence a que está na posição (x+3) mod N
• vence a que está na posição (x+5) mod N
• ...
• vence a que está na posição (x+2i-1) mod N
• ...
• vence a que está na posição (x+N-2) mod N

Ou seja, para cada vértice x,
A arma na posição x vence a que está na posição (x+2i-1) mod N
Com i a percorrer todos os números naturais entre 1 e (N-1)/2, inclusive!
Esta construcção dá todas as vitórias e derrotas possíveis (não vou justificar porquê, deixo para os leitores pensarem)
Ficamos com ( N-1)/2 relações de vitória, (N-1)/2 relações de derrota e uma relação (óbvia) de empate (quando as armas coincidem para ambos os jogadores)

Assim, em condições normais, em cada jogo com N armas, com N ímpar, a probabilidade de vitória(*) é

No caso Rock Paper Scissors Lizard Spock, a probabilidade de vitória em cada jogo é (5-1)/10=0.4, que corresponde a 40%.

A escolha de cada arma tem probabilidade de 1/N que no nosso caso corresponde a 1/5=0.2, ou seja, 20%.

Pergunta para pessoas com no mínimo 12º ano com Matemática A, ou equivalente, ou com conhecimentos um pouco mais avançados de probabilidades:

Qual é a probabilidade de, com 5 armas como o nosso Rock Paper Scissors Lizard Spock em 10 jogos saírem entre 3 e 7 empates (ou seja, 3, 4, 5, 6 ou 7 empates)?
E num jogo com 3 armas? (eu aceito o uso de calculadora desde que me expliquem o raciocínio  e a aproximação seja "boa")

Este é o último post directamente relacionado com Rock Paper Scissors dos próximos tempos.
No próximo post (amanhã) falarei do problema de Monty Hall, e de como se explica o valor aproximado da probabilidade dada pelo simulador (não, não vou falar nem de programação nem de detalhes técnicos sobre o simulador)

Até amanhã