O Dilema de Monty-Hall

Há cerca de dez anos, ofereceram-me um livro de Jorge Buescu, intitulado "O mistério do bilhete de identidade e outras histórias".
No capítulo 11, é apresentado o problema de  Monty-Hall.
Poucas semanas depois de ler esse livro, enquanto lia "O homem que só gostava de números" de Paul Hoffman, (eu já li muitos livros de divulgação) voltei a cruzar-me com o problema no capítulo 6 que tem o muito sugestivo nome de "Ficar com a  cabra".


O problema surgiu a partir de um concurso televisivo dos Estados Unidos chamado Let’s Make a Deal, exibido na década de 1970.
O jogo consistia no seguinte: Monty Hall (o apresentador) apresentava 3 portas aos concorrentes, sabendo que atrás de uma delas estava um carro (prémio bom) e que as outras têm prémios considerados mau (digamos, como nas versões que eu li, cabras).

Na 1ª etapa o concorrente escolhia uma porta sem abrir ;
De seguida Monty abria uma das duas portas que o concorrente não escolheu, sabendo à partida que o carro não se encontrava ali;
Agora com apenas duas portas para escolher, sabendo que o carro está atrás de uma delas, o concorrente tinha de decidir se mantinha a porta escolhida ou se mudava para a outra porta que ainda estava fechada.
-Será que há alguma vantagem em mudar de porta?

Antes de prosseguir, vou dar ao leitor a hipótese de pensar no assunto.

Depois ainda, sugiro que passe pelo meu simulador, onde o concurso é simulado quantas vezes o leitor quiser e o concorrente opta sempre por mudar de porta.

A resposta (correcta) foi dada em 1990 por Marylin vos Savant na coluna da revista Parade.
A resposta foi contestada, inclusivamente por doutorados em Matemática que, puxando dos galões, afirmavam que mudar ou não mudar deviam ter a mesma probabilidade e que a senhora devia assumir o erro. (Ups!!! Não deixem que um título vos suba à cabeça...)

Há centenas de vídeos no youtube que apresentam a solução correcta e uma constante nesses vídeos ainda hoje em dia é o facto de ter várias pessoas a contestar, ( com algumas a serem banidas por insultos) e outras a dar razão.ao autor do vídeo. Ainda não vi um único vídeo de Monty Hall com 100% de gostos, e certamente não é a minha mensagem aqui neste blog que vai passar sem contestação.

No  livro do professor Jorge Buescu é apresentada uma solução (correcta) que recorre ao Teorema de Bayes (junto com outras 3 soluções diferentes...)
Não vou apresentar essa solução aqui. Deixo aos leitores interessados em Matemática o prazer de pensar na solução, ou então, podem sempre ler a solução no livro do professor Buescu, ou em alguma das suas palestras.

Vou propor uma solução explicada de duas formas, por forma a tentar chegar ao maior número possível de pessoas sem grandes conhecimentos de probabilidades
:
No princípio, antes de abrir qualquer porta, o concorrente acerta na porta  à frente do carro apenas 1/3 das vezes e falha 2/3 das vezes. O apresentador apresenta uma porta com uma cabra todas vezes (é uma condição do problema!)
Assim, se inicialmente o concorrente acertou no carro, mudando, perde.
Se inicialmente o concorrente acertou numa cabra, como o apresentador abriu a porta com outra cabra, a porta que sobra tem o carro, e portanto, mudando para essa porta, o concorrente ganha.

Então, mudando de porta, aquilo que era a probabilidade de falhar na 1ª escolha, mudando de porta, torna-se em probabilidade de acertar.

Ou seja, trocando a porta, a probabilidade de acertar no carro é 2/3 e a de falhar é 1/3.
Não mudando, faz todo o sentido que as probabilidades sejam 1-2/3=1/3 e 1-1/3=2/3.

Se esta explicação não o convenceu, vamos tentar outra.
Vamos supor sem perda de generalidade que o carro está na 3ª porta (Porta C) e que as outras duas têm cabras.

Caso 1: Se o concorrente escolher a porta A, o apresentador mostra que atrás da Porta B está uma cabra. mudando de porta, o concorrente escolhe a Porta C e ganha.

Caso 2: Se o concorrente escolher a porta B, o apresentador mostra que atrás da Porta A está uma cabra. mudando de porta, o concorrente escolhe a Porta C e ganha.

Caso 3:Se o concorrente escolher a porta C, o apresentador mostra que atrás de uma das portas está uma cabra (não interessa qual, pois ambas têm cabras) . Mudando de porta o concorrente perde.

Mudando de porta, o concorrente ganha o carro 2 em 3 vezes, ou seja, a probabilidade de vitória é 2/3.

Se não mudasse, o concorrente ganharia o carro apenas no caso 3, ou seja, apenas uma em 3 vezes, ou seja  a probabilidade de vitória seria 1/3.

Então, se sem mudar de porta a probabilidade de acertar é 1/3, e mudando a probabilidade é 2/3, é boa estratégia mudar de porta!
Porque é que a solução 50-50 está errada? Porque ou não tem em conta que houve uma escolha inicial, ou está a ignorar outra condição do problema.

---

Assim, se o leitor recorreu ao meu simulador, o valor da probabilidade dado pela simulação, deve rondar os 0.667 e não os 0.5 (que corresponderia a 50%)

Aos métodos que recorrem a simulações com amostras (pseudo) aleatórias para prever um valor numerico como por exemplo o de uma probabilidade chamamos métodos de Monte-Carlo.

Aqui no blog, os simuladores de Monty-Hall e o de Rock Paper Scissors Lizard Spock apresentam valores aproximados de probabilidades obtidos por métodos de Monte Carlo.

Até à próxima.