O Dilema de Monty-Hall (suplemento)

      Há alguns minutos uma amiga (que permanece anónima a menos que me dê indicações em contrário) recordou-me que no livro de probabilidades e Estatística do professor Dinis Pestana e do professor Sílvio Velosa, livro que só li muito mais tarde, também abordam o problema, embora não faça referencia a cabras... nem a Monty-Hall.
Confesso que inicialmente fiquei supreendido por num livro do professor Dinis as cabras terem sido substituídas por botas! Mas pouco depois (cerca de uma milésima de segundo depois) compreendi. Pode haver uma interpretação que torne as cabras em prémios "bons". (Ok, também podia ser uma referencia à bota Botilde, mas prefiro o raciocínio anterior)

O problema é abordado  imediatamente antes da secção sobre o teorema da probabilidade total (Secção 3.5)

Na 1ª edição está nas páginas 237 e 238
Na 3ª está nas páginas 249 e 250.
(Não sei onde está na 2ª nem na 4ª, mas não me parece ser muito relevante)

De entre as soluções apresentadas, há uma que recorre apenas ao conceito de probabilidade condicionada.
Também deixo como exercício...
Quem não tem o livro, não quer comprar, e não chegou à solução recorrendo à noção de probabilidade condicionada pode sempre consultar o livro em bibliotecas...

O Dilema de Monty-Hall

Há cerca de dez anos, ofereceram-me um livro de Jorge Buescu, intitulado "O mistério do bilhete de identidade e outras histórias".
No capítulo 11, é apresentado o problema de  Monty-Hall.
Poucas semanas depois de ler esse livro, enquanto lia "O homem que só gostava de números" de Paul Hoffman, (eu já li muitos livros de divulgação) voltei a cruzar-me com o problema no capítulo 6 que tem o muito sugestivo nome de "Ficar com a  cabra".


O problema surgiu a partir de um concurso televisivo dos Estados Unidos chamado Let’s Make a Deal, exibido na década de 1970.
O jogo consistia no seguinte: Monty Hall (o apresentador) apresentava 3 portas aos concorrentes, sabendo que atrás de uma delas estava um carro (prémio bom) e que as outras têm prémios considerados mau (digamos, como nas versões que eu li, cabras).

Na 1ª etapa o concorrente escolhia uma porta sem abrir ;
De seguida Monty abria uma das duas portas que o concorrente não escolheu, sabendo à partida que o carro não se encontrava ali;
Agora com apenas duas portas para escolher, sabendo que o carro está atrás de uma delas, o concorrente tinha de decidir se mantinha a porta escolhida ou se mudava para a outra porta que ainda estava fechada.
-Será que há alguma vantagem em mudar de porta?

Antes de prosseguir, vou dar ao leitor a hipótese de pensar no assunto.

Depois ainda, sugiro que passe pelo meu simulador, onde o concurso é simulado quantas vezes o leitor quiser e o concorrente opta sempre por mudar de porta.

A resposta (correcta) foi dada em 1990 por Marylin vos Savant na coluna da revista Parade.
A resposta foi contestada, inclusivamente por doutorados em Matemática que, puxando dos galões, afirmavam que mudar ou não mudar deviam ter a mesma probabilidade e que a senhora devia assumir o erro. (Ups!!! Não deixem que um título vos suba à cabeça...)

Há centenas de vídeos no youtube que apresentam a solução correcta e uma constante nesses vídeos ainda hoje em dia é o facto de ter várias pessoas a contestar, ( com algumas a serem banidas por insultos) e outras a dar razão.ao autor do vídeo. Ainda não vi um único vídeo de Monty Hall com 100% de gostos, e certamente não é a minha mensagem aqui neste blog que vai passar sem contestação.

No  livro do professor Jorge Buescu é apresentada uma solução (correcta) que recorre ao Teorema de Bayes (junto com outras 3 soluções diferentes...)
Não vou apresentar essa solução aqui. Deixo aos leitores interessados em Matemática o prazer de pensar na solução, ou então, podem sempre ler a solução no livro do professor Buescu, ou em alguma das suas palestras.

Vou propor uma solução explicada de duas formas, por forma a tentar chegar ao maior número possível de pessoas sem grandes conhecimentos de probabilidades
:
No princípio, antes de abrir qualquer porta, o concorrente acerta na porta  à frente do carro apenas 1/3 das vezes e falha 2/3 das vezes. O apresentador apresenta uma porta com uma cabra todas vezes (é uma condição do problema!)
Assim, se inicialmente o concorrente acertou no carro, mudando, perde.
Se inicialmente o concorrente acertou numa cabra, como o apresentador abriu a porta com outra cabra, a porta que sobra tem o carro, e portanto, mudando para essa porta, o concorrente ganha.

Então, mudando de porta, aquilo que era a probabilidade de falhar na 1ª escolha, mudando de porta, torna-se em probabilidade de acertar.

Ou seja, trocando a porta, a probabilidade de acertar no carro é 2/3 e a de falhar é 1/3.
Não mudando, faz todo o sentido que as probabilidades sejam 1-2/3=1/3 e 1-1/3=2/3.

Se esta explicação não o convenceu, vamos tentar outra.
Vamos supor sem perda de generalidade que o carro está na 3ª porta (Porta C) e que as outras duas têm cabras.

Caso 1: Se o concorrente escolher a porta A, o apresentador mostra que atrás da Porta B está uma cabra. mudando de porta, o concorrente escolhe a Porta C e ganha.

Caso 2: Se o concorrente escolher a porta B, o apresentador mostra que atrás da Porta A está uma cabra. mudando de porta, o concorrente escolhe a Porta C e ganha.

Caso 3:Se o concorrente escolher a porta C, o apresentador mostra que atrás de uma das portas está uma cabra (não interessa qual, pois ambas têm cabras) . Mudando de porta o concorrente perde.

Mudando de porta, o concorrente ganha o carro 2 em 3 vezes, ou seja, a probabilidade de vitória é 2/3.

Se não mudasse, o concorrente ganharia o carro apenas no caso 3, ou seja, apenas uma em 3 vezes, ou seja  a probabilidade de vitória seria 1/3.

Então, se sem mudar de porta a probabilidade de acertar é 1/3, e mudando a probabilidade é 2/3, é boa estratégia mudar de porta!
Porque é que a solução 50-50 está errada? Porque ou não tem em conta que houve uma escolha inicial, ou está a ignorar outra condição do problema.

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Assim, se o leitor recorreu ao meu simulador, o valor da probabilidade dado pela simulação, deve rondar os 0.667 e não os 0.5 (que corresponderia a 50%)

Aos métodos que recorrem a simulações com amostras (pseudo) aleatórias para prever um valor numerico como por exemplo o de uma probabilidade chamamos métodos de Monte-Carlo.

Aqui no blog, os simuladores de Monty-Hall e o de Rock Paper Scissors Lizard Spock apresentam valores aproximados de probabilidades obtidos por métodos de Monte Carlo.

Até à próxima.

Matemática no "Rock Paper Scissors Lizard Spock" - Parte 3

No post anterior foi demonstrado que para termos um jogo "de armas" equilibrado, o número de armas tinha de ser impar.
 Mas será essa condição suficiente?
 Isto é, será que basta o número de armas N ser ímpar que já podemos garantir que é possível estabelecer relações por forma a que cada arma derrota exactamente o mesmo número de armas que a derrotam? 
Sendo N impar, N-1 é par. Ordenemos e numeremos as armas começando em 0 e acabando en N-1. Vamos estabelecer as seguintes relações: A arma na posição x:

• vence a que está na posição (x+1) mod N
• vence a que está na posição (x+3) mod N
• vence a que está na posição (x+5) mod N
• ...
• vence a que está na posição (x+2i-1) mod N
• ...
• vence a que está na posição (x+N-2) mod N

Ou seja, para cada vértice x,
A arma na posição x vence a que está na posição (x+2i-1) mod N
Com i a percorrer todos os números naturais entre 1 e (N-1)/2, inclusive!
Esta construcção dá todas as vitórias e derrotas possíveis (não vou justificar porquê, deixo para os leitores pensarem)
Ficamos com ( N-1)/2 relações de vitória, (N-1)/2 relações de derrota e uma relação (óbvia) de empate (quando as armas coincidem para ambos os jogadores)

Assim, em condições normais, em cada jogo com N armas, com N ímpar, a probabilidade de vitória(*) é

No caso Rock Paper Scissors Lizard Spock, a probabilidade de vitória em cada jogo é (5-1)/10=0.4, que corresponde a 40%.

A escolha de cada arma tem probabilidade de 1/N que no nosso caso corresponde a 1/5=0.2, ou seja, 20%.

Pergunta para pessoas com no mínimo 12º ano com Matemática A, ou equivalente, ou com conhecimentos um pouco mais avançados de probabilidades:

Qual é a probabilidade de, com 5 armas como o nosso Rock Paper Scissors Lizard Spock em 10 jogos saírem entre 3 e 7 empates (ou seja, 3, 4, 5, 6 ou 7 empates)?
E num jogo com 3 armas? (eu aceito o uso de calculadora desde que me expliquem o raciocínio  e a aproximação seja "boa")

Este é o último post directamente relacionado com Rock Paper Scissors dos próximos tempos.
No próximo post (amanhã) falarei do problema de Monty Hall, e de como se explica o valor aproximado da probabilidade dada pelo simulador (não, não vou falar nem de programação nem de detalhes técnicos sobre o simulador)

Até amanhã

Esquemas manhosos... e imorais

Em tempo de crise começam a aumentar os esquemas suspeitos de lucro fácil e quase sem trabalho.
O leitor que tenha sempre um pé atrás quando a troco de um investimento inicial e de pouco trabalho lhe prometerem grandes e fáceis lucros.

Ultimamente ando a prestar atenção aos esquemas em pirâmide e semelhantes.
São sistemas que nunca são auto-sustentáveis, isto é, não têm realmente uma forma legal de gerar lucro que sustente o esquema,  e que só se aguentam enquanto outras pessoas forem entrando e investindo.

Obviamente quando começam a entrar menos pessoas, começam a falhar pagamentos e nessa altura o esquema ou cai totalmente ou entram as autoridades em cena e há contas bancárias congeladas,  pessoas "que desaparecem" com todos os seus bens e muita gente que investiu e nunca recebeu nada, e que provavelmente foi quem avisou as autoridades.

Só que vejam lá: Até o sistema entrar em colapso há muita gente que ganha dinheiro. Alguns ganham verdadeiras fortunas.
Estes esquemas são ilegais tanto em Portugal como no Brasil e muitas outras partes do mundo, mas continuam a surgir, e a tentação do lucro fácil faz com que as pessoas entrem neles.

Pessoalmente parece-me uma forma imoral de ganhar dinheiro.
Há centenas de esquemas destes, que afirmam ter uma forma auto-sustentável com investimentos feitos por profissionais, por publicidade e outra coisa qualquer para o distinguir dos outros.
Ora, nunca ninguém se dá ao trabalho de tentar perceber de onde vem o dinheiro desde que ele chegue!
Eu sugiro que não vão na conversa... Se entram num esquema a colapsar, só vão perder dinheiro, e se não, vão ganhar "dinheiro sujo".

É possível criar um esquema destes que seja legal e dê lucro a todos os envolvidos?
Eu não vou incomodar-vos com as contas.
Vejam a imagem acima, e espero que conheçam o significado de "progressão geométrica"..

Acabei de me cruzar com um anuncio que tem todo o aspecto de fazer parte de um esquema destes, imaginem lá, no facebook!
E naquele meio, as coisas espalham-se pior que fogo em gasolina!

Para sinais de alarme para um possível esquema manhoso fraudulento, sugiro a leitura de algumas entradas do site Ponzi Clawbacks (em inglês)

Sugiro duas páginas em particular:
Ponzi Scheme Red Flags
e
Ponzi Scheme Red Flags, Part II

Se querem ganhar dinheiro com pouco esforço.. tentem uma lotaria, um totoloto ou um euromilhões ou qualquer coisa do género. Ao menos são legítimos e as pessoas sabem como funciona, embora já tenha ouvido muita gente dizer que suspeita desses concursos e da forma como ocorrem os sorteios.
(Mas será que ainda não perceberam que como os jogos estão montados, eles não precisam disso?)

Pessoalmente não gosto quando as regras mudam. Ou porque aumentam o numero de bolas em jogo ou porque mudam os esquemas de apostas.
Essas coisas alteram as combinações de chaves vencedoras e consequentemente há mudanças drásticas nas probabilidades de vitórias (posso falar disso aqui no blog um dia no futuro).

E mesmo assim, em Portugal o governo taxa-vos as apostas e "rouba" 20% dos grandes prémios.
Se "roubam" o que ganhamos com o suor do nosso trabalho, acham mesmo que não roubariam prémios?
Eu não concordo com a elevadíssima taxa fiscal no país com os salários mais baixos da Europa.
É indecente e imoral, quando ninguém está preso por gestão danosa de dinheiros públicos ou do próprio país... é o esquema imoral mais público e descarado do estado.

É assustador ver a quantidade de esquemas manhosos, ilegítimos e ilegais que andam por aí, e saber que o estado "salva" alguns e ainda paga-lhes as dívidas.

 Tudo o que vi, li e ouvi sobre o BPN, mostra-me que foi mais um caso que não foi autosustentável em grande escala, e que só deu lucros a alguns, entre os quais o nosso presidente da Republica e uma sua filha. Sendo ele o "homem inteligente" que dizem ser não percebeu no que estava a meter?
Até compreendo, o lucro fácil e proposto por um suposto amigo de confiança falou mais alto.
Mas até hoje, esse banco, nacionalizado pelo governo de José Sócrates, por indicação do ministro Teixeira dos Santos continua a dar prejuízo a todos os outros portugueses.
Li há tempos que a UE quer que os estados se responsabilizem pelas dívidas dos bancos. O BPN é um exemplo à vista de todos de que isso é péssima ideia, e aliás isso é o tipo de coisa que dará origem a muitos mais esquemas manhosos em toda a união.
Portanto, só me apetece dizer: Vão lá gozar outro!
Aqui em Portugal, Vitor Constâncio ou "fechou os olhos" ou foi irresponsável, pois era governador do banco de Portugal na altura em que o BPN fazia o seu negócio, e foi alertado para o caso...
 (fonte: http://sicnoticias.sapo.pt/programas/afraude/ )
Mesmo assim foi convidado para o cargo de vice-presidente do Banco Central Europeu.

O que não faltam,em todo o mundo, são esquemas manhosos, desonestos e imorais para o lucro fácil.
Eles só prevalecem e continuam por aí graças à ganância de alguns, ao fechar dos olhos de outros e à ingenuidade de muitos.
Não são só pessoas famosas que têm culpa. Do meu ponto de vista, quem mete outras pessoas em esquemas desonestos destes é igualmente responsável!

Querem ganhar dinheiro? Não há nada como trabalho honesto.
E sugiro que procurem todas as formas legais e legítimas de fugir a impostos num estado que não zela pelos seus habitantes, nem pelo seu património, onde a gestão danosa serve de anedota e não põe culpados a pagar com juros essa má gestão.

Ataque DDOS & cenas dos próximos capítulos.

O meu site de explicações está em baixo.
Está a ser vítima de um ataque de DDOS.
Deve ser um dos preços a pagar por alojar o site num serviço gratuito.
Confesso que prefiro tê-lo num site que eu controle a 100% do que tê-lo num blog.
Tirando os ataques que estranhamente aquele servidor recebe, funciona muito bem.
Mas não deixa de me incomodar o facto de ter o site offline numa altura em que venham a precisar dele.
[... A ver vamos, tenho boas razões para ainda não ter o site funcional, mas estes ataques podem obrigar-me a procurar uma solução melhor e que me obrigue, mais uma vez, a repensar o conceito, visto que já não é a primeira vez.]

O grande problema de um blog como este é não ter espaço de alojamento próprio e ter de ir alojando as coisas aqui e ali, em serviços Google.
Por exemplo, a maioria das imagens que vê aqui, estão alojadas em contas Picasa, vários scripts estão alojados noutro sítio, mas que também é também um serviço Google, e pelo andar da carruagem, vou acabar a ter de utilizar o Google docs para manter cópias de segurança dos documentos alojados no site, ou, a ter duas cópias do site alojadas em dois servidores distintos.

Mudando de assunto:
Embora já tenha começado a escrever a 3ª parte do texto sobre o Rock Sccisors Paper Lizard Spock, não o vou publicar antes de segunda feira.

Entretanto, e a anunciar um tema futuro neste blog, sugiro que passem pelo simulador de Monty-Hall.
Este simulador é uma adaptação de um que eu tive numa versão anterior do meu site no sapo.

Se já conhece a resposta às soluções colocadas sem ter de correr o simulador, sabe explicá-las?
Se acha que já pensou e leu tudo sobre o assunto, bem, eu não devo acrescentar nada de novo, e portanto pode saltar esse post :).

Bom fim-de-semana
C.Paulo A. Freitas

Matemática no "Rock Paper Scissors Lizard Spock" - Parte 2

De regresso ao "Rock Paper Scissors Lizard Spock".
Da última vez, perguntei porque é que tínhamos um jogo com 3 armas, outro com 5 mas não o tínhamos com 4 armas.

Podíamos ter? Bem, vamos a ver o que se passa com 3 armas.

Cada arma vence apenas uma arma.
Cada arma é derrotada por apenas uma arma
Cada arma empata apenas com uma arma

Com 5 armas

Cada arma vence duas armas.
Cada arma é derrotada por duas armas
Cada arma empata apenas com uma arma

Se em cada caso dispusermos as armas sobre os vértices de um polígono regular,  e desenharmos setas que partem das armas vencedoras para as derrotadas (ou, como dizemos em Matemática, se desenharmos um grafo orientado), observa-se que se temos N armas, o total de setas que entram ou saem daquele vértice é N-1.
Isto não é uma mera observação. Em qualquer polígono regular com N lados, existem sempre N-1 diagonais que passam por esse vértice.

Para o jogo ser equilibrado temos de ter igual número de setas a entrar e a partir.

Isso obriga a que N-1 seja um número par, mais precisamente igual ao dobro do número K de setas que partem de cada vértice, (ou de igual modo, igual ao número K de setas que chegam a cada vértice).

Ou seja N-1=2K .
Esta equação é equivalente a N=2K+1, que indica que N tem de ser ímpar.

Conclusão, com 4 armas, não é possível termos um jogo "justo".
Cada vértice teria direito apenas a três setas. De alguns sairiam duas setas e entraria uma, ou seja, uma arma derrotaria duas mas seria derrotada apenas por uma.
De outros, sairia uma, e entrariam duas, ou seja, as armas correspondentes a estes vértices apenas derrotariam uma arma e seriam derrotadas por duas, tornando-as péssimas escolhas.

O numero total de pares de armas distintas, logo, de setas,  é dado pela fórmula:

No próximo post sobre este assunto generalizaremos para N armas, com N impar, o que foi feito na primeira parte.
 Acabei hoje de implementar um simulador de Rock Paper Scissors Lizard Spock que está disponível neste link, e em breve estará linkado na secção Blog-Apps.

Até à próxima

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Sobre isto, neste blog:

• Rock Paper Scissors Lizard Spock
• Matemática no Rock Paper Scissors Lizard Spock - Parte 1
• Matemática no Rock Paper Scissors Lizard Spock - Parte 3

25 de Abril ...

Com a queda da ditadura, rompeu-se com tudo o que estava associado a esses tempos.

As pessoas esqueceram-se que nem tudo foi mau e também cortaram com alguns bons hábitos,

A título de exemplo, como corria há tempos no facebook, na ponte Oliveira Salazar, por exemplo, não houveram derrapagens orçamentais e a obra foi concluída no tempo previsto.

Hoje em dia não temos a PIDE, mas temos a ASAE.
Destroem-se alimentos que não satisfazem certos critérios de qualidade mas são consumíveis, quando, principalmente agora com a crise, há muita gente a passar fome.
Temos políticos que desconhecem a realidade do país e sobrecarregam-nos com impostos.

"Eles comem tudo e não deixam nada"- Cantou Zeca Afonso, referindo-se ao estado da altura...

Mas em suposta democracia, essa música é no mínimo tão válida agora como foi na altura.

Um dos problemas desta democracia que faz com que "os vampiros" de Zeca Afonso se mantenha actual é fácil de identificar:.

Vale tudo para chegar ao poder:, até prometer o mundo ao eleitorado.
Assim que lá chegam, afinal as coisas não são nada assim. As promessas eleitorais não passam de um engodo para levar as pessoas "ao poleiro".
As pessoas votam em quem "tem melhor discurso" ou "para evitar que o outro chegue ao poder".
Não votam numa pessoa que demonstre capacidade e competência para gerir um país.

E mesmo na assembleia da republica, o que interessa é fazer política, e não o que é melhor para o país.
Mas isso compreende-se. O povo só interessa na altura de eleições. De resto, o povo não interessa. Nem se vivem com metade do salário mínimo.
O presidente da bancada parlamentar do PS não pode andar de Renault Clio.
O Ex-Ministro Miguel Relvas não precisou de estudar para ser licenciado.

Há "podres" em todas as bancadas políticas.
Portugal precisa de se livrar destes podres.... De um novo 25 de Abril que traga uma nova democracia a Portugal.

E que não tenhamos medo de recuperar só o que houve de bom na ditadura e neste democracia morribunda, onde as manifestações do povo são vistas como "uma moda passageira".
Não quero a ditadura. Só o que ela teve de bom. Quero uma nova democracia onde a nação mereça mais respeito que bancos, UE, Troikas, e politiquice barata..

Precisamos de um novo 25 de Abril

Guardem as calculadoras por momentos...

O controversa questão do uso das calculadoras voltou à actualidade nacional.

Depois de ter lido a seguinte notícia

http://www.publico.pt/sociedade/noticia/imperio-das-calculadoras-nas-aulas-tem-os-dias-contados-1592286

Não consegui deixar de soltar um aliviado
"Finalmente."

Para não variar, nos comentários à notícia até lêm-se disparates de pessoas radicais que acham que o ensino está a retroceder "40 anos".
Que exagero! Eu não tenho 40 anos.
Ninguém está a negar que o uso da calculadora pode ter efeitos positivos.
Mas na aprendizagem está a ter efeitos nocivos que não são compensados pelos seus aspectos positivos.
Trata-se de uma tentativa de corrigir um erro!

Ao longo dos anos já me cruzei com pessoas (note-se que estou a falar no plural) que nem sabiam coisas simples como o resultado de 18/2, ou, ainda no tempo do escudo, recorriam à calculadora para saber quanto era 2$50+2$50, ou mais impressionante ainda,  no ensino superior, não sabiam quanto era raiz quadrada de 1 sem usar a calculadora (Estou a falar a sério!)

Mas mais grave do que não saber um resultado, é não saberem fazer manipulações algébricas. E isso acontece muito mais frequentemente do que se possa pensar!

Pessoas que chegam ao secundário e "não sabem", por exemplo, simplificar uma fracção, que alterando a posição das parcelas numa equação ou inequação, mas sem mudar de membro, não mudam de sinais.

Pessoas que têm "memorizado" regras sem as compreender porque estão acomodadas ao facilitismo de "regras mágicas" sem as compreenderem. Isso eu aceitaria de um aluno na escola primária, não de um aluno de 2º ou 3º ciclo.
A esses eu peço que compreendam e manipulem conceitos, sem esquecer o que foi aprendido no 1º ciclo!

Não estou a exigir que um aluno da primária compreenda porque é que o algoritmo da multiplicação ou da divisão funcionam.
Estou a pedir que os saibam fazer e com alguma velocidade.

Argumentos como "estamos a imitar o que tem sido feito com muito sucesso noutros países", quando aplicados ao ensino são muito falaciosos.
Esse "sucesso" é medido por estatísticas que medem aprovações com critérios diferentes dos nossos.
Queremos um ensino para as estatísticas ou um ensino que gere pessoas competentes?
Não vamos ignorar a 100% o que os outros fazem, mas também não faz sentido copiar cegamente o que é feito num grupo de países com outra dimensão, outra história e outra cultura, nem usá-los como argumento!
Se vamos imitá-los, vamos usar como razão os prós e ter em conta os contras. E repito, não usar como argumento, e nem mesmo como nota de rodapé "está a ser feito noutros países"!

Sejam honestos, vendo o estado deste país não preferem um país repleto de competência do que um país de pessoas habituadas ao "facilitismo" e a aldrabar estatísticas?
Somos portugueses! Não somos finlandeses, nem franceses, nem... Porque vamos imitar os outros e não criar algo que se adapte à nossa cultura e ao nosso povo?
Num mundo globalizado não há lugar para ideias nossas na nossa educação?

Pode ser que num próximo passo removam os formulários com derivadas e fórmulas trigonométricas dos exames nacionais do ensino secundário.
Não me venham dizer que saber por exemplo as fórmulas de derivação do produto e do quociente, ou do co-seno da soma e afins é um bicho de sete cabeças!
Deixem de promover o desleixo. Ter essas coisas na cabeça torna os alunos muito mais eficientes!

Saber as tabuadas, os algoritmos da divisão ou da multiplicação, ou mais tarde coisas como trigonometria, exponenciais, logaritmos não é nada do outro mundo nem coisas que só competem a cientistas e engenheiros!
Não estamos a exigir nada hercúleo a ninguém. Estamos a dar-lhes competências que todo o homem ou mulher do século XXI deve ter!

Toda a gente sabe que eu não sou contra o uso de tecnologias! Sou contra o uso abusivo delas!
Aliás, até acho que toda a gente hoje em dia devia ter um conhecimento mínimo de pelo menos uma linguagem de programação, como por exemplo uma das variações do BASIC ou de um dos muitos descendentes da linguagem c. É tão importante como saber uma segunda língua.

Estamos numa altura onde qualquer alteração é vista como progresso e qualquer correcção é vista como retrocesso.
Não sejamos absolutistas! Devemos aprender com os erros e ter a coragem de admiti-los e corrigi-los!
Ninguém está a propor abolir as calculadoras da sociedade.
Só a tornar o seu uso muito mais racional no ensino.

Até amanhã.

Final Fantasy X, o regresso de Yuna e Tidus

Acabei recentemente de jogar Final Fantasy X para Playstation 2.
O X significa 10, mas não se preocupe porque cada jogo é independente dos outros, e não partilha absolutamente nada a não ser o nome com os seus antecessores.
.
O jogo tem mais de 10 anos mas eu nunca o tinha jogado antes.
O jogo é muito bom, e está a ser remasterizado e sairá brevemente para a Playstation 3 e para a Playstation Vita.

A arte de contar histórias através de livros, filmes e séries não se compara à de um video-jogo.
No jogo, há uma interactividade que faz o jogador sentir que faz parte da história.
Longe vão os tempos em que um jogo resumia-se apenas a cumprir objectivos e a derrotar mauzões.
Este tem uma história onde se sentem temas da cultura oriental, mas penso que é natural, visto que foi criado numa empresa japonesa..

Há muitos anos que não jogava um RPG (Role Playing Game). Para mim foi uma experiência surpreendentemente agradável. Gostei da história, da música, das vozes e do facto de usar os neurónios fazer a diferença no jogo.
Sendo um Final Fantasy, o jogador não tem outro remédio a não ser habituar-se às batalhas e a desenvolver estratégias que permitam a sobrevivência dos personagens.

A quem tiver tempo disponível, gostar de RPG's, e tiver uma consola onde o jogo corra, recomendo.
 (de momento, o jogo só existe para a já velhinha Playstation 2, mas, como já disse, brevemente o jogo será relançado, para consolas actuais)

É um pouco difícil falar deste jogo sem dar spoilers graças às voltas que há na história, e à velocidade com que algumas coisas acontecem.

Vou deixar as críticas e as análises para os profissionais. O jogo tem mais de 10 anos. Há muitas disponíveis online.

Vou deixar-vos por exemplo esta, se estiverem interessados, do site eurogammer.pt
https://www.eurogamer.pt/articles/2012-07-29-maquina-do-tempo-o-que-estava-a-jogar-em-julho-de-2002-final-fantasy-x

E se gostarem da história, bem, alguns anos depois de Final Fantasy X saiu Final Fantasy X-2, também para Playstation 2 e que também será remasterizado para consolas actuais.
Mas desse não vou falar, porque nunca joguei, nem vou me basear nas opiniões que li. Depois de ter jogado o X, os vídeos que vi no Youtube fazem-me querer jogar a sequela e ver como continua a história.

Os meus parabéns à Square e a todos os profissionais envolvidos na produção deste fantástico jogo.

Mantenha uma mente aberta. Um vídeojogo é mais uma forma de jogar histórias.

Há outros títulos que referirei no futuro...

PS: se há alguém à espera da 2ª parte do post de Domingo que não se preocupe: o post sai ainda esta semana.

Os meus vídeos sobre o problema restrito dos 3 corpos no youtube.

Há cerca de cinco anos carreguei três vídeos com soluções obtidas numericamente para o problema restrito dos 3 corpos para o meu canal do youtube.

Alguns meses antes eu tinha estado a trabalhar com o problema para uma avaliação e esbarrei com aquelas soluções.
Depois, nas férias escrevi o software que me permitiu gerar estes vídeos, em C++ no meu ambiente Linux (Debian), recorrendo a uma biblioteca que até se encontrava na lista de pacotes disponíveis para esse linux, mas que nunca tive grande sucesso a transportá-la para outro SO, tipo Windows.

Desde essa altura, recebo mensagens privadas de pessoas de todo o mundo que viram o vídeo e pedem dicas sobre como implementar resoluções para o problema, tipicamente... em matlab.
Bom, a minha implementação não é nada de especial, e até noto que até àquela altura eu nunca tinha implementado um RK vectorial na vida.

Desde a formulação matemática do problema até à escrita do programa que calculava as coordenadas dos corpos, e finalmente o que gerava a animação passei por vários passos e por um processo de aprendizagem, que não me parece que eu tenha o direito a roubar às pessoas, por isso, quando respondo, tento não dar detalhes técnicos, mas dar umas dicas para testarem o programa deles e desejar boa sorte.

Para ser 100% honesto, os vídeos estão longe de ser as minhas melhores produções, há ali algumas liberdades "artísticas" e uma "liberdade Matemática" que foi tomada para mais facilmente detectar gralhas no software, e um pequeno erro no código que faz os erros numéricos acumularem um pouco mais do que era suposto.

Um dia, quando eu tiver outro computador volto a gerar estes vídeos, e talvez outros com mais resolução (por exemplo, fullHD), utilizando outro algoritmo para resolver o problema e menos liberdades matemáticas.

Uma coisa que me ilude, são os "não gosto", sem qualquer justificação dada.
As pessoas têm o direito a não gostar, mas já agora, eu gostaria de saber do que é que não gostaram, pois pode ser qualquer coisa que possa ser melhorado no futuro..

Mas penso que no youtube, vai haver sempre alguém para clicar num "não gosto" em qualquer vídeo que seja postado. Porque sim!

 Até amanhã. 

Carlos Paulo

Matemática no "Rock Paper Scissors Lizard Spock" - Parte 1

Na passada quarta-feira, (ou seja, no post anterior) mostrei-vos o diagrama de vitórias/derrotas do "rock, paper, scissors Lizard Spock".
Para quem não conhece o jogo, a ideia é esta: Dois jogadores escolhem uma arma, que só pode ser Rock, Paper, Scissors, Lizard ou Spock. Se as armas forem iguais, o jogo é considerado empatado. Se as armas forem diferentes, basta encontrar a seta correspondente no diagrama do post anterior, ou abaixo,  e ter em conta que a seta parte sempre do vencedor.

Se atribuirmos ordenadamente cada um dos números 0 a 4 a cada uma das armas, seguindo sempre as setas exteriores do diagrama e começando em qualquer ponto, temos sempre:

Onde o "mod 5" representa o resto da divisão inteira por 5. (Exemplo 12 mod 5 = 2, 5 mod 5=0 e 3 mod 5=5

Se seguirmos sempre as sentas interiores também temos sempre a mesma relação.

Note-se ainda que se numerarmos  sequencialmente os vértices consecutivos de um pentágono regular de 0 a 4, as duas fórmulas anteriores mas na forma de pares ordenados

(x,(x+1)mod 5) e (x,(x+3)mod 5)

dão todos pares de vértices do pentágono, sem haver repetição,.ou seja, identificam univocamente todos os 10 segmentos que se podem traçar unindo vértices do pentágono, e se pensar bem, isto era de esperar.

Agora. vamos ver estas fórmulas na prática.

0. Scissors (tesouras) 
1. Paper (Papel/artigo) 
2. Rock (rocha) 
3. Lizard (lagarto) 
4. Spock (do Star Trek)

x=0

0 vence (0+1)mod 5=1 => 0 vence 1 <=>Scissors vence Paper (Scissors cuts Paper)
0 vence (0+3)mod 5=3 => 0 vence 1 <=>Scissors vence Lizard (Scissors decapitates Lizard)

x=1

1 vence (1+1)mod 5=2 => 0 vence 2 <=>Paper vence Rock(Paper covers Rock)
1 vence (1+3)mod 5=4 => 0 vence 4 <=>Paper vence Spock (Paper disproves Spock)
...

x=4

4 vence (4+1)mod 5=0 => 4 vence 0 <=>Spock vence Scissors(Spock smashes Scissors)
4 vence (4+3)mod 5=2 => 4 vence 2 <=>Spock vence Rock (Spock vapourises Rock)

Por agora é tudo.
Num próximo post sobre este assunto veremos o que se passa no caso geral, com N armas, e porque é que temos um jogo de 3 armas e um de 5, mas não temos um de 4 (pode pensar sobre o assunto, não é difícil, e deixar um comentário abaixo, os comentários serão desactivados pouco antes de ser publicado o post onde eu vou falar sobre o assunto).
 E noutro post ainda, olharemos para este jogo do ponto de vista probabilístico. Penso que nessa altura, já terei também um simulador de Rock Paper Scissors Lizard Spock na (nova) secção Blog-Apps.

Até à próxima
C.Paulo

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Sobre isto, neste blog:

• Rock Paper Scissors Lizard Spock
• Matemática no Rock Paper Scissors Lizard Spock - Parte 2
• Matemática no Rock Paper Scissors Lizard Spock - Parte 3

Rock Paper Scissors Lizard Spock

Para os fãs de Star Trek, e de The Big Bang Theory partilho isto.

Seja como for, eu continuo com o tradicional Rock Paper Scissors.
Embora o Sheldon (Big Bang Theory) já tenha explicado algumas vezes isto, penso que não há nada como visualizar a coisa.

Aumentado em 2 o número de armas, passamos a ter 10 combinações (no desenho, setas) possíveis

Dando mais variedade ao jogo.

Os cálculos só servem para mostrar que eu ainda sei fazer contas.

Já agora, só com quatro armas, rock paper scissors Spock, teríamos apenas

Sim, desta vez os cálculos são só para confundir, mas qualquer pessoa que domine minimamente combinatória percebe-os e também pode dizer o que se passaria com 6, 7, 8,... N armas.
E como seria de esperar, a situação complica-se, pois graficamente teríamos polígono com N lados e todas as diagonais traçadas.

Nota: Rock Paper Sissors Lizard Spock é uma criação de Sam Kass e Karen Bryla

Fazendo batota ao poker

Não, não vou ensinar-vos a fazer batota no poker online, nem mesmo no facebook.

Tenho instalado, no meu telemóvel o jogo Texas Hold'em Poker 3 da Gameloft.

No princípio dão-nos 1000$ em fichas e temos direito a uma lotaria diária com prémios baixos em fichas.

O jogo é totalmente offline, não usa a internet para nada, e é bom, tirando alguns detalhes irritantes:
A primeira coisa que jogamos é um torneio Sit N Go de 10 jogadores, onde a inscrição são 200$.
Eu tive o azar de ficar em 4º lugar... 5 vezes seguidas, ou seja, sem cheta.
(o facto de eu ser mau jogador não é para aqui chamado)
Tendo ficado sem fichas, fui à "lotaria"(onde sai sempre alguma coisa) e ganhei 200$ em fichas. Voltei a inscrever-me num torneio, e com a frustração pus-me a fazer apostas disparatadas, e obviamente perdi mais uma vez.
O jogo pergunta-me se eu queria mais fichas e respondendo que sim, bem... pergunta-me qual é o meu operador de telemóvel, para poder vender-me fichas a troco de saldo.

Sim, leram bem, tenho de pagar para ter fichas para jogar offline.

Como sou daquelas pessoas que está tão nas lonas que acha isto impensável, decidi remover o meu utilizador do jogo e criar outro. O novo utilizador começava a zero, e a lotaria, como já tinha corrido no dia, só estaria disponível no dia seguinte.

Eu estava sentado à espera no centro de saúde, e queria mesmo distrair-me com aquele jogo.
Então, fui à data/hora do telemóvel e adiantei 24 horas ao relógio. Fui à lotaria do jogo, ganhei mais 500$ em fichas, saí do jogo e voltei a acertar a data.

Entrei no jogo, fui ao torneio e ganhei o primeiro prémio, que eram 1000€ em fichas. Ganhando esse prémio, ficaram desbloqueados outros modos de jogo (por exemplo, jogar a fichas fora de um torneio), que, com a estratégia acertada fizeram com que nunca mais tivesse falta de fichas, nem de aldrabar o jogo recorrendo às datas.

Cobrar dinheiro real por fichas virtuais que vão ser gastas num jogo no meu telemóvel onde não tenho oponentes reais?

A título de curiosidade, no facebook, neste momento tenho alguns milhões de fichas ma minha conta Zynga Texas Hold'em Poker e nunca gastei um tostão nem aldrabei.

Poker apesar de ser um jogo de cartas é um jogo de inteligência e paciência. Sem paciência, é fácil perder muito.

Dinheiro e descendência...

- So,what do you guys do for fun around here?
- Well, today we tried masturbating for money

The Big Bang Theory Season 1, Episode 1

Hum... estou a precisar de dinheiro. Se não me aparecem alunos para explicações, a teoria do Big Bang deu uma sugestão que não me parece nada má.

Vendo bem... eu até tenho muito em comum com aqueles nerds. Até vi e conheço bem praticamente tudo o que há para ver de Star Trek, Star Wars, Stargate, Batlestar Gallactica (desculpem lá, eu prefiro a série nova à original), e ainda vi Quantum Leap quando eu andava no secundário(sim, literalmente no século passado). Mas acho que eles têm mais sucesso com miúdas do que eu!
A única forma viável de eu ter descendência deve ser mesmo fazendo uma doação de esperma.

Tenho de pensar seriamente no assunto! Com sorte os meus problemas de saúde não serão hereditários.

Análise pulhitica da semana

Ou, se preferirem, "Este país continua a ser uma anedota"

Já tivemos um primeiro ministro pseudo-engenheiro.
Na semana passada tivemos um ministro pseudo-licenciado a demitir-se.
(Se ainda não viram, vejam o vídeo da Rádio Comercial sobre o assunto)

No passado fim de semana veio-se a saber que o Tribunal constitucional chumbou algumas normas do orçamento de estado para 2013.
Consequência imediata: O primeiro ministro no fim da tarde de Domingo fez uma comunicação ao país, que mais parecia um puto a chorar por ter levado um castigo devido a mau comportamento.

Na noite desse Domingo o pseudo-engenheiro que esteve emigrado pouco menos de dois anos estreou-se a comentar na RTP, e pelo que li (eu recuso-me a ver campanha política esse pseudo-comentador) fiz muito bem em não perder o meu tempo.

No dia seguinte, o secretário geral do PS anuncia "uma declaração ao país" para o fim da tarde, onde faz uma coisa do tipo: "Eu não disse? Eu não disse?".

Do sempre suspeito, outro lado do oceano, o prémio Nobel da Economia de 2008, "defende que a ‘troika’ é sádica e opta por um caminho errado. O economista e prémio Nobel afirma que foi dada autorização à ‘troika’ para continuar a provocar dor." (fonte: RTP).

Eu pergunto-me se esse sadismo é só da troika, visto que quem impôs medidas que até foram chumbadas pelo tribunal constitucional foi o Governo.

Lendo os comentários às notícias que vão chegando, até vejo pessoas, supostamente portuguesas, a condenar o TC, a elogiar o pseudo-comentador, a elogiar o governo, actual, o anterior, a insultar toda a classe política, enfim, há para todos os gostos (e cada patacoada no português que até dói!)

Esta "liberdade de expressão" é uma coisa estranha. Quem não faz a mínima ideia do que diz tem o direito a falar, e se tiver carisma, a atrair seguidores. O que me preocupa é que há muita gente que não faz a ideia do que diz!

Nem é preciso .ir muito longe. Nas campanhas eleitorais, temos tido imensos políticos que dizem uma coisa, mas chegados ao poder fazem outra, por vezes completamente oposta.
Das duas uma: ou são mentirosos, ou durante a campanha não fazem a mínima ideia do que estão a dizer!

No caso de alguns, como o pseudo-engenheiro pseudo-comentador (e até apetece a dizer pseudo-licenciado), é preocupante porque parece que o tipo acredita mesmo em muitos dos disparates que diz, apresenta dados sem citar fontes, ou faz uma interpretação muito alucinada desses dados.

No caso do português típico que faz comentários inflamados nas redes sociais, nos sites da comunicação social, ou mesmo no café, rege-se muito pelo boato e, sinceramente... pode ter o direito à sua opinião, mas preferia que a desse noutro sítio qualquer, como por exemplo eu que o faço num blog que ninguém lê!

Um servidor de FTP no telemóvel

Eu tenho um Nokia C5-03. Não é um topo de gama, mas tendo em conta o meu salário médio mensal (0€), é mesmo muito bom!

(sim, eu gostaria de ter uma coisa com um sistema andróide, mas com salário médio zero, é muito difícil, até ter saldo no telemóvel)
O telemóvel tem wifi, isto significa que pode se ligar a redes wireless.
Podendo ligar-se a redes wireless, parece-me absurdo ter de recorrer ao cabo USB que veio com o telemóvel, ou mesmo ao (lento) bluetooth que tenho quando quero trocar ficheiros com o computador. Mas foi a solução que tive de usar durante muitos anos.
Se tivesse um servidor samba no telemovel, poderia partilhar os ficheiros com o computador  tal como se partilham ficheiros entre dois computadores numa rede.
Após uma pesquisa na net, e na ovi store da Nokia não encontrei nada que se assemelhasse a nada disto.

Decidi então procurar por um servidor ftp.
Bem...
Aqui, a ovi store apresentava-me um produto... mas que custava 4 euros.
Desculpem-me lá! Eu até acho que a partilha de ficheiros e pastas via wireless devia ser uma coisa nativa a este telemóvel e a todos os que têm ligação wireless!
Concordo que o programador devia ser compensado por ter criado um software que colmatava uma "falha" da Nokia, mas não acho que deva ser eu a pagar (até porque vivo sem salário).
Portanto aquela solução não me servia!

Acabei por ir parar ao site http://www.free-symbian.ic.cz/ onde encontrei uma aplicação chamada sypftp que é um servidor ftp muito bom e gratuito para vários telemóveis com o sistema symbian.

 Só tem um problema: dá erro em  ficheiros ou pastas com   nomes com caracteres especiais.

Isto só é um problema porque o nome por defeito da pasta onde o telemóvel coloca as fotos e os vídeos é "Câmara", com acento circunflexo no primeiro a.
Bem, com isso eu consigo viver.
Antes de transferir fotos ou vídeos mudo os nomes das pastas para "camara" sem acentos, e depois no fim volto a por os nomes originais.

E voilá.. tenho partilha de ficheiros wireless entre o meu telemóvel e a minha rede em casa!

O próximo passo é descobrir como mudo os nomes das pastas padrão, para qualquer coisa sem acentos.
(Não, eu não concordo que se removam os acentos da língua portuguesa, isto é uma mera solução para o meu smartphone)

50 anos para o primeiro contacto

De acordo com o universo Star Trek, no dia 5 de Abril de 2063, a humanidade ultrapassará a barreira da velocidade da luz, e no mesmo dia, à tarde, fará o primeiro contacto oficial com uma espécie alienígena: Os vulcan!

A partir desse dia a humanidade sofre um upgrade significativo e torna-se mais unida, resolvendo a maioria dos seus problemas. Por exemplo, as doenças e a fome são erradicadas.

A data foi estabelecida no filme "Star Trek: o primeiro contacto". Nesse filme, uma raça alienígena de ciborgues, os Borg, regressa no tempo, do século XXIV até ao século XXI com a intenção de evitar o 1º contacto, por forma a facilitar a conquista da Terra.
A USS Enterprise-E segue esses Borg e..., se quiserem saber o resto vejam o filme.

Há muitos anos atrás, comprei o filme em VHS. Embora o filme seja muito bom, a tradução e legendagem que foram feitas pela Lusomundo era tão má, que o tradutor confunde a primeira nave a viajar à velocidade da luz, a Phoenix com uma máquina do tempo.
Está entre as piores traduções que já vi..

Star Trek não tem tido grande pontaria no que diz respeito a apontar datas de acontecimentos futuros, mas a  ideia de termos uma humanidade mais humana, é aliciante.

A imagem que apresento ilustra o cumprimento tradicional dos vulcan, que "foi feito" no dia do 1º Contacto dos humanos com os vulcan, junto com a célebre frase:

"Live long and prosper"

Feliz dia do 1º contacto a todos.

O Marsupilami

Hoje pela manhã o meu irmão mostrou-me isto:
http://cinema.sapo.pt/magazine/e-cinema/e-cinema-marsupilami-chega-ao-cinema-ao-estilo-asterix-e-obelix.

A primeira coisa que me vem à cabeça quando leio "Marsupilami" é, espantem-se, "As aventuras de Spirou e Fantásio", e o motivo é simples: Em puto li imensos "Spirou e Fantásio" nas bibliotecas da Gulbenkian e nas bibliotecas das escolas por onde fui passando, e foi nessas histórias que introduziram o personagem.
Tenho aqui em casa um único livro dessa colecção, uma das histórias que mais me fascinou em puto:
O Z de Zorglub.

Algures no fim dos anos 90, vi na RTP-Madeira "As aventuras de Spirou", dobrado em português.
Excelente série de animação, não me importava que a repetissem, ou disponibilizassem para download gratúito e em português (não estou a incentivar à pirataria... é que estou desempregado e assim eu podia arranjar cópias gratuitas para mim)

A série já não contava com o Marsupilami, que para meu choque agora passava com um programa próprio no Club Disney, sem Spirou e Fantásio.

Pode-se dizer que o personagem "agora" (na verdade, há já algumas décadas) lançou-se a solo e tem até o seu próprio site (em francês) http://www.marsupilami.com/

E se houver curiosidade podem consultar na Wikipedia a história do personagem.

Pode ser que um dia também vejamos Spirou e Fantásio no grande ecrã.

As opiniões dos "especialistas"...

Pergunto-me se numa era onde praticamente toda a gente usa telemóveis, tablets e computadores se alguém aponta o dedo a um dos utilizadores e o considera "um informático"?
A minha pergunta idiota não tem nada de inocente.
Há mais de uma década, durante a minha licenciatura em Matemática eu programava tudo o que era algoritmo "monótono" e repetitivo na minha calculadora.
Isto porque eu tinha (e continuo a ter) sérias dificuldades em compreender como é que repetir os passos de um algoritmo mil vezes me tornaria num "matemático".
Mas a verdade é que isso foi mal interpretado por várias pessoas, incluindo professores, que muitas vezes me pediam opiniões sobre assuntos informáticos que na altura eu simplesmente desconhecia.
Mais tarde acabei mesmo a dar aulas de "informática" (mas nunca sequer de programação)!.
Programar uma calculadora não era difícil. Qualquer manual decente ensinava a fazê-lo.
Tenho ali alguns cadernos com os programas que escrevi na altura...
A ironia é que embora saiba fazê-lo, não é algo que eu goste particularmente de fazer, e que "os especialistas" nunca tenham compreendido isso.
Até acho que saber programar minimamente devia ser obrigatório para toda a gente que trabalha em Matemática, mesmo pura

A Matemática das "receitas de cozinha", não faz muito sentido numa altura em que os computadores são capazes de executar essas "receitas".
Parece-me que faz mais sentido mostrar como se criaram essas receitas, ensinar a aplicá-las mas sem exagero.
Saber apenas aplicar "receitas de cozinha" não é saber Matemática.
Uma pessoa que só saiba fazer contas está muito longe de "saber Matemática".
Da mesma forma, uma pessoa formada em Matemática que seja incapaz de aplicar uma fórmula ou uma das tais "receitas de cozinha" não deve ser levada a sério.

Lembro-me de casos com que já me cruzei, de pessoas que são peritas em aplicar regras de integração e a calcular integrais, mas... não conhecem o conceito de integral. São apenas "especialistas em contas".
De pessoas, que dias depois de feita uma disciplina com nota 19 ou 20, são incapazes de responder a uma pergunta sobre o assunto que envolva raciocínio..

No entanto, "os especialistas" deram-lhes essas notas.
[As notas de uma pessoa não dizem muito sobre o que essa pessoa sabe do assunto].

Por outro lado, de vez em quando vejo livros, vídeos e afirmações de pessoas que só merecem o título de crackpots. Pessoas que são peritas em regras, mas desconhecem e até desvalorizam conceitos, demonstrações e especialistas sérios numa área.
(O caso dos crackpots preocupa-me seriamente, porque estraga alunos)

E ainda temos aqueles que se acham Deus e desvalorizam todos os que estão à sua volta, que só dão valor à sua opinião...
(Se é Matemática,  a opinião só conta se for para escolher alguma coisa., nunca para discutir resultados..)

Só num mundo com tantos "especialistas" assim é que se consegue compreender como é que aos 35 anos estou desempregado... desde os 26.

Dia das petas...

As (supostas) petas com que me cruzei hoje:

• Exame Informática: Troika exige que largura de banda máxima desça para 6 Mbps
• Google Nose
• Youtube anuncia que vai fechar para escolher o melhor vídeo, que será anunciado dentro de 10 anos

(admito que o mais difícil ainda é olhar para um jornal e perceber o que é peta... porque vivo num país anedótico)

Também postaram esta foto no facebook...

Mais ninguém me falou disto em Santa Cruz (Madeira), portanto, também deve ser peta...